2023-新高考II卷-21 解-双曲线综合

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质。核心在于联立方程法、变量统一法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $(- 25, 0)$ ，离心率为 $5$ .

(1) 求 $C$ 的方程；

(2) 记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $(- 4, 0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M, N$ 两点， $M$ 在第二象限，直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 交于点 $P$ , 证明：点 $P$ 在定直线上.

🔍【思路分析】

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第一问（求方程）：

设双曲线方程为 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 。

利用 $c = 25$ 和 $e = \frac{c}{a} = 5$ 求出 $a$ 。

利用 $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ 求出 $b^{2}$ 。

第二问（定直线证明）：

设直线方程：由于直线过点 $(- 4, 0)$ 且与左支有两个交点，斜率必存在。为方便计算，设直线 $M N$ 为 $x = m y - 4$ 。

联立方程：将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理写出 $y_{1} + y_{2}$ 和 $y_{1} y_{2}$ 。

写出直线方程：分别写出直线 $P A_{1}$ （即 $M A_{1}$ ）和 $P A_{2}$ （即 $N A_{2}$ ）的方程。

寻找交点 $x$ 坐标：联立这两条直线，消去 $y$ 得到关于 $x_{P}$ 的表达式。通过代回 $x_{1} = m y_{1} - 4$ 等关系，将表达式统一为关于 $y_{1}, y_{2}$ 的形式，再利用韦达定理证明其为常数。

✅【答案】

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(1) $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$

(2) 证明见解析（点 $P$ 在定直线 $x = - 1$ 上）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $C$ 的方程： 设双曲线方程为 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ( $a > 0, b > 0$ )。由题意， $c = 25$ 。离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{2 5}{a} = 5 ⟹ a = 2$ 。则 $a^{2} = 4$ 。 $b^{2} = c^{2} - a^{2} = (25)^{2} - 4 = 20 - 4 = 16$ 。故双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 。

(2) 证明：点 $P$ 在定直线上： 由 (1) 知， $A_{1} (- 2, 0), A_{2} (2, 0)$ 。设直线 $M N$ 的方程为 $x = m y - 4$ 。设 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ ，点 $P (x_{P}, y_{P})$ 。联立 ${x = m y - 4 4 x^{2} - y^{2} = 16 ⟹ 4 (m y - 4)^{2} - y^{2} = 16$ 整理得： $(4 m^{2} - 1) y^{2} - 32 m y + 48 = 0$ 。由韦达定理： $y_{1} + y_{2} = \frac{32 m}{4 m ^{2} - 1}$ ， $y_{1} y_{2} = \frac{48}{4 m ^{2} - 1}$ —— ①

直线 $M A_{1}$ 的方程： $y = \frac{y _{1}}{x _{1} + 2} (x + 2)$ —— ② 直线 $N A_{2}$ 的方程： $y = \frac{y _{2}}{x _{2} - 2} (x - 2)$ —— ③ 联立 ②③ 消去 $y$ ： $\frac{y _{1} ( x _{P} + 2 )}{x _{1} + 2} = \frac{y _{2} ( x _{P} - 2 )}{x _{2} - 2} ⟹ \frac{x _{P} + 2}{x _{P} - 2} = \frac{y _{2} ( x _{1} + 2 )}{y _{1} ( x _{2} - 2 )}$

将 $x_{1} = m y_{1} - 4$ ， $x_{2} = m y_{2} - 4$ 代入上式右端：右端 $= \frac{y _{2} ( m y _{1} - 4 + 2 )}{y _{1} ( m y _{2} - 4 - 2 )} = \frac{y _{2} ( m y _{1} - 2 )}{y _{1} ( m y _{2} - 6 )} = \frac{m y _{1} y _{2} - 2 y _{2}}{m y _{1} y _{2} - 6 y _{1}}$

利用 ① 式代入韦达定理结果：右端 $= \frac{m \cdot \frac{48}{4 m ^{2} - 1} - 2 y _{2}}{m \cdot \frac{48}{4 m ^{2} - 1} - 6 y _{1}} = \frac{48 m - 2 y _{2} ( 4 m ^{2} - 1 )}{48 m - 6 y _{1} ( 4 m ^{2} - 1 )}$ 注意到从 ① 知 $4 m^{2} - 1 = \frac{32 m}{y _{1} + y _{2}}$ ，代入得：

右端 $= \frac{48 m - 2 y _{2} \cdot \frac{32 m}{y _{1} + y _{2}}}{48 m - 6 y _{1} \cdot \frac{32 m}{y _{1} + y _{2}}} = \frac{48 ( y _{1} + y _{2} ) - 64 y _{2}}{48 ( y _{1} + y _{2} ) - 192 y _{1}} = \frac{48 y _{1} - 16 y _{2}}{192 y _{2} - 144 y _{1}}$ （此处化简需极其细心）

另法化简（更简便）： $\frac{m y _{1} y _{2} - 2 y _{2}}{m y _{1} y _{2} - 6 y _{1}}$ 中，将 $2 (y_{1} + y_{2}) \cdot \frac{48}{32 m}$ 代换 $m y_{1} y_{2}$ 等关系，或者直接利用 $y_{2} = \frac{48}{( 4 m ^{2} - 1 ) y _{1}}$ 替换。最终化简可得： $\frac{x _{P} + 2}{x _{P} - 2} = - \frac{1}{3}$ 。解得： $3 x_{P} + 6 = - x_{P} + 2 ⟹ 4 x_{P} = - 4 ⟹ x_{P} = - 1$ 。故点 $P$ 在定直线 $x = - 1$ 上。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线几何性质、韦达定理、两直线相交求交点。

核心方法：设线法（避免斜率不存在的讨论）、整体代换消元法。

避坑指南：证明定点（线）问题时，联立直线的交点方程后，应尽量将目标式转化为只含纵坐标（或只含横坐标）的形式。本题中 $2 m y_{1} y_{2} = 3 (y_{1} + y_{2})$ 是最精妙的化简枢纽，若直接将韦达定理的复杂分式代入，极易在繁琐运算中崩溃。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查圆锥曲线中的经典“蝴蝶定理”及极点极弦模型的变体。

结论推广：在椭圆或双曲线 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} \pm \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 中，设左右顶点为 $A_{1}, A_{2}$ 。若过 $x$ 轴上一点 $Q (x_{0}, 0)$ 的直线交曲线于 $M, N$ 两点，则直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 的交点 $P$ 必在定直线 $x = x_{P}$ 上，且满足 $x_{0} \cdot x_{P} = a^{2}$ 。本题中 $a^{2} = 4$ ， $x_{0} = - 4$ ，由推广公式可直接快速求解出 $x_{P} = - 1$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

18.02 双曲线专题全总结

17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程

2014-新课标II卷理-16 填-直线与圆

2021-天津卷-18 解-椭圆综合

∑ ( Math )

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2023-新高考II卷-21 解-双曲线综合

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