2023-甲卷文-04 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及组合数公式。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二两级各 2 名. 从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则这 2 名学生来自不同年级的概率为（ ）

A. $\frac{1}{6}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算总基本事件数：从 4 名学生中任选 2 名，可通过列举所有可能对，或直接使用组合数公式 $C_4^2$ 求解。
2. 计算目标事件数：

• 解法一（直接法）：满足“来自不同年级”意味着高一选 1 名、高二选 1 名，通过分步乘法原理计数。
• 解法二（对立事件法）：其对立事件为“来自同一年级”（即全是高一或全是高二），算出同一年级的概率后再用 1 减去该概率。

3. 计算概率：利用古典概型概率公式求出结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解法一：组合数运算法（直接法） 从 4 名学生中随机选 2 名的所有可能选法总数为： $N=C_4^2=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6\text{ 种}$

要使选出的 2 名学生来自不同年级，必须从高一的 2 名学生中选 1 名，同时从高二的 2 名学生中选 1 名。 根据分步乘法计数原理，目标事件包含的选法数量为： $m=C_2^1\times C_2^1=2\times 2=4\text{ 种}$

因此，这 2 名学生来自不同年级的概率为： $P=\frac{m}{N}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

故选：D。

解法二：列举法 不妨将高一的两名学生编号为 1, 2；高二的两名学生编号为 3, 4。 从这 4 名学生中随机选 2 名，所有可能的结果共有 6 种，分别为： $(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)$

其中，两名学生来自不同年级（即编号一个为1或2，另一个为3或4）的结果有 4 种： $(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)$

因此，这 2 名学生来自不同年级的概率为： $P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型、排列组合分步计数原理。
2. 核心方法：小样本数据优先使用“列举法”直观列出；元素较多时采用“组合数公式法”计算。
3. 避坑指南：

• 计数遗漏或重复：使用列举法时应按照字典序（如1开头、2开头…）进行，防止漏写。
• 对立事件应用范围：若选择对立事件法，需注意“不同年级”的对立面是“同一年级”（包含全是高一、全是高二两种情况），不能漏掉其中一种。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的人教A版高中数学必修第二册第九章《统计与概率》中摸球/抽样模型的变式。此题去除了复杂的背景，属于经典的超几何分布在样本量极小时的特例。
2. 结论推广：

• 一般化模型（超几何分布基础）：若某群体由两类对象构成，第一类有 $M$ 个，第二类有 $N$ 个。现从中随机抽取 $k$ 个对象（$k\le M+N$），则抽取的对象中第一类有 $x$ 个、第二类有 $k-x$ 个的概率满足超几何分布公式： $P(X=x)=\frac{C_M^x{C}_N^{k-x}}{C_{M+N}^k}$
• 本题中 $M=2,N=2,k=2$。要求不同年级即两类各 1 个（$x=1,k-x=1$），代入公式直接得：$P=\frac{C_2^1{C}_2^1}{C_4^2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-11 填-古典概型
• 2014-江西卷理-13 填-古典概型
• 2014-陕西卷理-06 单-古典概型