2023-甲卷文-09 单-双曲线与直线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$，$C$ 的一条渐近线与圆 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=1$ 交于 $A,B$ 两点，则 $|AB|=($　　$)$

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{5}}{5}$　　　　　　D. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定渐近线斜率：利用双曲线离心率 $e=\frac{c}{a}$ 与参数 $a,b$ 的关系 $e^2=1+(\frac{b}{a}{)}^2$，求出渐近线的斜率 $k=\pm \frac{b}{a}$。

2. 提取圆的基本信息：由圆的方程 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=1$ 确定圆心坐标 $O(2,3)$ 和半径 $r$。

3. 计算点线距离：选择其中一条渐近线，利用点到直线的距离公式计算圆心到渐近线的距离 $d$。

4. 利用垂径定理求弦长：根据公式 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$ 计算最终结果。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

1. 求解双曲线渐近线方程：

已知双曲线的离心率 $e=\sqrt{5}$．

根据离心率平方公式：$e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2$．

代入数据：$(\sqrt{5}{)}^2=1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2⟹5=1+\frac{b^2}{a^2}$．

解得 $\frac{b^2}{a^2}=4$，故 $\frac{b}{a}=2$．

双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，即 $y=\pm 2x$．

2. 确定圆的相关参数：

圆的方程为 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=1$．

圆心坐标为 $M(2,3)$，半径 $r=1$．

3. 计算圆心到渐近线的距离 $d$：

不妨取一条渐近线 $l:2x-y=0$．

根据点到直线的距离公式：

$d=\frac{|2\times 2-1\times 3|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|4-3|}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

4. 利用垂径定理计算弦长 $|AB|$：

在圆中，弦长、半径与弦心距满足勾股关系：

${\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2=r^2-d^2$

代入数据：

${\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2=1^2-{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$

故 $\frac{|AB|}{2}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

则 $|AB|=\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

结论：

对应选项 D 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线基本量的平方关系、离心率与渐近线斜率的对应关系、圆的弦长几何求解。
2. 核心方法：公式代换法、垂径定理几何法。
3. 避坑指南：求点到直线距离时，必须先将斜截式 $y=2x$ 化为一般式 $2x-y=0$；利用垂径定理算得的数据是弦长的一半 $\frac{|AB|}{2}$，切勿漏乘 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将圆锥曲线的性质与古典平面解析几何中的直线与圆融为一体，为高考中档解析几何选择题的经典组合形式。
2. 结论推广：对于焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其离心率 $e$ 与渐近线斜率 $k$ 恒满足 $e^2=1+k^2$。处理直线与圆的弦长问题时，一律优先采用由垂径定理推导出的几何法 $L=2\sqrt{r^2-d^2}$，该方法运算量远小于联立方程后使用韦达定理的代数法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程
• 2014-新课标II卷理-16 填-直线与圆
• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题