2024-上海卷-05 填-平面向量共线

本题导读

本题考查向量平行的坐标运算，以及平面向量共线的判定。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）已知 $k\in \mathbb{R}$，$\vec{a}=(2,5)$，$\vec{b}=(6,k)$，且 $\vec{a}\parallel \vec{b}$，则 $k$ 的值为 ____.

🔍【思路分析】

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1. 识别核心考点：本题考查两非零平面向量平行的坐标表示方法。
2. 公式回忆：若向量 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则 $\vec{a}\parallel \vec{b}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。
3. 倍数速算：也可以直接观察横坐标之间的倍数关系，根据共线向量的数乘定义，纵坐标也必须满足相同的倍数。

✅【答案】

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$15$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：坐标交叉相乘法（标准通法）

已知两平面向量的坐标分别为： $\vec{a}=(2,5),\vec{b}=(6,k)$ 因为 $\vec{a}\parallel \vec{b}$，根据平面向量平行的坐标充要条件： $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 我们将对应的横、纵坐标代入该公式中： $2\times k-6\times 5=0$ $2k-30=0$ 解得： $k=15$

方法二：数乘比例法（考场快速求解）

因为 $\vec{a},\vec{b}$ 均为非零向量且 $\vec{a}\parallel \vec{b}$，根据共线向量定理，存在唯一实数 $\lambda$ 使得： $\vec{b}=\lambda \vec{a}$ 代入坐标可得： $(6,k)=\lambda (2,5)⟹(6,k)=(2\lambda ,5\lambda )$ 对照对应坐标：

• 横坐标对齐： $6=2\lambda ⟹\lambda =3$
• 纵坐标对齐： $k=5\lambda =5\times 3=15$

【答案】：15

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量平行的坐标运算式、共线向量的数乘定义。
2. 核心方法：交叉相乘法、坐标比例法。
3. 避坑指南：

• 概念混淆导致公式用错：这是本题最经典也唯一的陷阱。部分考生极易将平行（共线）与垂直的坐标公式记混：
  • 平行（主副对角线交叉乘）： $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$
  • 垂直（同轴坐标相乘和）： $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$ 若错用垂直公式，会算出 $2\times 6+5k=0⟹k=-2.4$ 的错误答案。
• 口诀加深记忆：“平行交叉乘，垂直同轴乘”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自高中数学教材必修第二册第六章《平面向量初步》中向量坐标运算的起始练习题，重点考查考生对向量平行代数本质的直接提取。
2. 结论推广: 在平面直角坐标系中，两非零向量共线（平行）不仅在代数上表现为坐标的比例一致，在几何上还意味着它们对应的两直线的斜率相等（当斜率存在时）。即 $\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}$，这一工具常在解析几何中用于证明“三点共线”或“两条直线平行”的化归推导。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算