2024-上海卷-07 填-抛物线的定义

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及抛物线的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）已知抛物线 $y^2=4x$ 上有一点 $P$ 到准线的距离为 9，那么 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 ____.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取抛物线基本量：由抛物线标准方程 $y^2=2px=4x$ 得到开口方向及参数 $p$，进而写出准线方程。
2. 利用准线距离逆推横坐标：抛物线上的点 $P(x_0,y_0)$ 到准线的距离有其特定的几何表达式，利用已知距离 9 建立方程，解出横坐标 $x_0$。
3. 坐标代入求纵坐标：将横坐标 $x_0$ 代入抛物线方程，求出纵坐标 $y_0$。
4. 转化目标距离：点 $P$ 到 $x$ 轴的距离在代数上严格等价于其纵坐标的绝对值 $|y_0|$，直接输出计算结果。

✅【答案】

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$4\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定抛物线的参数与准线方程

已知抛物线方程为： $y^2=4x$ 该方程属于标准构型 $y^2=2px$（开口向右，焦点在 $x$ 轴正半轴上）。 对照系数可得： $2p=4⟹p=2⟹\frac{p}{2}=1$ 因此，该抛物线的准线方程为： $x=-\frac{p}{2}=-1$

第二步：求解点 $P$ 的横坐标

设点 $P$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$，因为点 $P$ 在抛物线上，显然其横坐标满足 $x_0⩾0$。 点 $P(x_0,y_0)$ 到准线 $x=-1$ 的距离公式为： $d=|x_0-(-1)|=x_0+1$ 题目已知该距离为 9，建立一元一次方程： $x_0+1=9⟹x_0=8$

第三步：求解点 $P$ 的纵坐标及到 $x$ 轴的距离

将点 $P$ 的横坐标 $x_0=8$ 代入原抛物线方程 $y^2=4x$ 中： $y_0^2=4\times 8=32$ 两端开平方，解得点 $P$ 的纵坐标为： $y_0=\pm \sqrt{32}=\pm 4\sqrt{2}$ （这说明在抛物线上满足条件的点 $P$ 有两个，分别位于第一象限和第四象限，关于 $x$ 轴对称）。

根据平面直角坐标系的几何性质，任意点 $(x,y)$ 到 $x$ 轴的距离为纵坐标的绝对值 $|y|$。 因此，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为： $\text{距离}=|y_0|=|\pm 4\sqrt{2}|=4\sqrt{2}$

【答案】：$4\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线标准方程中 $p$ 的几何意义、准线方程的求法、点到坐标轴的几何化归。
2. 核心方法：坐标代入法、绝对值距离法。
3. 避坑指南：

• 参数 $p$ 的含义看错：部分考生易受到思维定势干扰，错将 $p$ 认作 4，导致误算出准线为 $x=-2$，从而引发连锁计算错误。
• 概念混淆：一定要分清点到坐标轴的距离规律：
  • 点 $(x,y)$ 到 $x$ 轴的距离是 $|y|$（纵坐标绝对值）；
  • 点 $(x,y)$ 到 $y$ 轴的距离是 $|x|$（横坐标绝对值）。 考场上若粗心记反，直接填写横坐标 $8$ 将非常可惜。
• 漏掉根号开方或化简：解出 $y^2=32$ 后，务必将其化简为最简二次根式 $4\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自教材选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中抛物线几何性质的课后核心基础题，旨在测验学生对标准方程各项参数空间几何意义的熟练掌握度。
2. 结论推广: 抛物线的核心方法在于其“定义”——抛物线上任意一点到焦点的距离（焦半径 $k$）恒等于该点到准线的距离。对于开口向右的抛物线 $y^2=2px$，焦半径公式可完美提炼为 $e=x_0+\frac{p}{2}$。在高考解析几何大题中，涉及到抛物线上的点到焦点、准线或相关直线的距离最值问题（如 $△PAB$ 周长最值）时，灵活运用定义进行“将到焦点的距离转化为到准线的距离（或反向转化）”，是实现数形结合、化繁为简的黄金通用法则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义