2024-上海卷-09 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数表示，以及复数的概念与运算。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）已知虚数 $z$，其实部为 1，且 $z+\frac{2}{z}=m(m\in \mathbb{R})$，则实数 $m$ 为 ____.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 待定系数法设复数（方法一）：由题意 $z$ 是虚数且实部为 1，可设 $z=1+bi$，这里必须强调 $b\in \mathbb{R}$ 且 $b\ne 0$。代入目标代数式，通过共轭复数进行分母实数化，将实部与虚部彻底分离。因为结果 $m\in \mathbb{R}$，令虚部等于 0 即可破题。
2. 共轭恒等性质法（方法二）：利用高级性质“任意复数 $w\in \mathbb{R}⟺w=\bar{w}$”。建立方程 $z+\frac{2}{z}=\bar{z}+\frac{2}{\bar{z}}$，通过因式分解和 $z$ 是虚数（即 $z\ne \bar{z}$）的条件，直接快速求解模长 $|z{|}^2$，计算量更小。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：待定系数实虚分离法（标准通法）

第一步：设出复数 因为 $z$ 是虚数且其实部为 1，根据复数的代数形式，可设： $z=1+bi(b\in \mathbb{R}\text{ 且 }b\ne 0)$

第二步：分母实数化化简 将 $z=1+bi$ 代入左侧代数式中，并对分式部分分子分母同乘共轭复数 $1-bi$： $z+\frac{2}{z}=(1+bi)+\frac{2}{1+bi}=(1+bi)+\frac{2(1-bi)}{(1+bi)(1-bi)}$ 利用复数乘法平方差公式 $(1+bi)(1-bi)=1^2-(bi{)}^2=1+b^2$，上式可化为： $z+\frac{2}{z}=1+bi+\frac{2-2bi}{1+b^2}$

第三步：彻底分离实部与虚部 将不含 $i$ 的项和含有 $i$ 的项分类归拢合并： $z+\frac{2}{z}=\left(1+\frac{2}{1+b^2}\right)+\left(b-\frac{2b}{1+b^2}\right)i$

第四步：利用实数条件建立方程 因为已知 $z+\frac{2}{z}=m$ 且 $m\in \mathbb{R}$，说明该复数运算结果的虚部必须严格等于 0： $b-\frac{2b}{1+b^2}=0⟹b\left(1-\frac{2}{1+b^2}\right)=0$ 因为题干明确限定 $z$ 是虚数，所以其虚部满足 $b\ne 0$。等式两边同时约去 $b$： $1-\frac{2}{1+b^2}=0⟹\frac{2}{1+b^2}=1⟹1+b^2=2⟹b^2=1$

第五步：求出实数 $m$ 的值 由于虚部为 0，实数 $m$ 的值即为该复数的实部。将 $b^2=1$ 代入实部中： $m=1+\frac{2}{1+b^2}=1+\frac{2}{1+1}=1+1=2$

方法二：共轭性质法（高级快速求解）

根据复数几何性质，实数的共轭复数等于其自身。因为 $m\in \mathbb{R}$，所以： $z+\frac{2}{z}=\overline{\left(z+\frac{2}{z}\right)}⟹z+\frac{2}{z}=\bar{z}+\frac{2}{\bar{z}}$ 移项进行分组因式分解： $(z-\bar{z})+\left(\frac{2}{z}-\frac{2}{\bar{z}}\right)=0⟹(z-\bar{z})+\frac{2(\bar{z}-z)}{z\bar{z}}=0$ $(z-\bar{z})\left(1-\frac{2}{z\bar{z}}\right)=0$ 因为 $z$ 是虚数，所以 $z$ 不可能等于其共轭复数 $\bar{z}$，即 $z-\bar{z}\ne 0$。两端约去该因式： 1 - \frac{2}{z\bar{z}} = 0 \implies z\bar{z} = 2 根据复数与共轭复数积的定义 $z\bar{z}=|z{|}^2=a^2+b^2$，代入已知实部 $a=1$： $1^2+b^2=2⟹b^2=1$ 直接回填代入原式求 $m$： $m=z+\frac{2}{z}=(1+bi)+\frac{2}{1+bi}=(1+bi)+(1-bi)=2$

【答案】：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数分类充要条件（ $a+bi\in \mathbb{R}⟺b=0$ ）、分母共轭实数化、共轭复数的恒等代数变形。
2. 核心方法：实虚分离待定系数法、共轭消元法。
3. 避坑指南：

• 忽视“虚数”核心前提：题目开篇强调 $z$ 是虚数，这说明 $b\ne 0$。很多考生在方法一第四步提公因式得到 $b(1-\frac{2}{1+b^2})=0$ 时，如果没有虚数意识，容易误认为 $b=0$ 也是解，从而在后续计算中陷入逻辑混乱。
• 共轭乘法分母符号错配：进行分母实数化时， $(1+bi)(1-bi)=1-b^2{i}^2=1+b^2$。高频易错点是部分考生习惯性记成平方差写成 $1-b^2$，导致全盘皆输。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自教材必修第二册第七章《复数》中复数代数运算与复数概念定义的课后核心综合训练题。
2. 结论推广: 在高考复数多项式考查中，“一个含参复数式结果为实数”是一类非常标准的题型。对于任意形式为 $f(z)=z+\frac{k}{z}$ 且满足结果为实数的模型，若 $z$ 的实部为 $a$，其虚部 $b$、模长 $|z|$ 与常数 $k$ 之间存在着极为稳固的几何量联动：恒有 $|z{|}^2=a^2+b^2=k$。熟记这一推广结论，可以在考场上实现对同类填空选择题的无运算直观快速求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-新课标II卷理-02 单-复数除法
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法