2013-辽宁卷理-01 单-复数除法

本题导读

本题考查复数，以及复数的代数运算。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 复数 $Z=\frac{1}{i-1}$ 的模为()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 转化法：先将复数 $Z$ 通过分母实数化转化为代数形式 $a+bi$，再根据模的定义 $|Z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 计算。
2. 性质法：利用复数模的性质 $|\frac{Z_1}{Z_2}|=\frac{|Z_1|}{|Z_2|}$ 直接计算分子与分母的模，这种方法通常计算量更小。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一（代数运算法）： 首先进行复数除法运算，分子分母同乘以 $-1-i$（即分母的共轭复数）： $Z=\frac{1}{-1+i}=\frac{-1-i}{(-1+i)(-1-i)}=\frac{-1-i}{(-1{)}^2-i^2}=\frac{-1-i}{1+1}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$ 得到复数的实部为 $-\frac{1}{2}$，虚部为 $-\frac{1}{2}$。 则其模为： $|Z|=\sqrt{(-\frac{1}{2}{)}^2+(-\frac{1}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

解法二（性质法）： 根据复数模的商等于模的商： $|Z|=\left|\frac{1}{i-1}\right|=\frac{|1|}{|i-1|}$ 计算分母的模：$|i-1|=|-1+i|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{2}$ 则： $|Z|=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-09 填-复数除法
• 2014-新课标II卷文-02 单-复数除法
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