2024-北京卷-13 填-直线与双曲线的交点

本题导读

本题考查直线与双曲线的位置关系中最为经典的“单交点问题”。核心在于明确交点个数不仅受到一元二次方程判别式的控制，当直线与双曲线的渐近线平行时，方程会退化为一元一次方程，从而在几何上产生唯一交点.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）若直线 $y=k(x-3)$ 与双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 只有一个公共点，则 $k$ 的一个取值为______ .

🔍【思路分析】

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1. 常规代数法：将直线方程代入双曲线方程，消元后整理成关于 $x$ 的一元方程。注意到“只有一个公共点”包含两种状态：一是二次项系数为 0，方程简化为一元一次方程（对应直线与渐近线平行）；二是二次项系数不为 0 且 $\Delta =0$（对应直线与双曲线相切）。
2. 数形结合法（快速求解）：分析直线 $y=k(x-3)$ 恒过的定点 $P(3,0)$。双曲线的右顶点为 $(2,0)$，由于 $3>2$，点 $P$ 恰好深处双曲线右支的开口内部。在双曲线内部的点无法向双曲线作切线，因此满足“唯一交点”的直线，只能是与两条渐近线平行的直线，直接提取渐近线斜率即可。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数联立法（通性通法）

联立直线与双曲线方程： $\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}-y^2=1\\ y=k(x-3)\end{array}$ 将直线方程代入双曲线中，去分母化简： $x^2-4[k(x-3){]}^2=4$ $x^2-4k^2(x^2-6x+9)-4=0$ 合并同类项，提取出关于 $x$ 的一元方程： $(1-4k^2)x^2+24k^{2}x-(36k^2+4)=0$

因为直线与双曲线只有一个公共点，分以下两种情况展开讨论：

情况 1：二次项系数塌陷归零（直线与渐近线平行） 令 $1-4k^2=0$，解得： $k=\pm \frac{1}{2}$ 此时二次项消失，原方程简化退化为一元一次方程： $24\left(\frac{1}{4}\right)x-\left(36\cdot \frac{1}{4}+4\right)=0⟹6x-13=0⟹x=\frac{13}{6}$ 方程有唯一实数根，在几何上对应直线与双曲线单支相交，符合题意。

情况 2：二次项系数不为 0 且 $\Delta =0$（直线与双曲线相切） 即 $1-4k^2\ne 0$ 且方程判别式 $\Delta =0$： $\Delta =(24k^2{)}^2-4(1-4k^2)[-(36k^2+4)]$ $\Delta =576k^4+4(36k^2+4-144k^4-16k^2)=576k^4-576k^4+80k^2+16$ $\Delta =80k^2+16$ 因为对任意实数 $k$，恒有 $k^2⩾0$，所以 $\Delta =80k^2+16⩾16>0$ 恒成立。 这说明 $\Delta =0$ 产生了无实数解的代数，即不存在与双曲线相切且过点 $(3,0)$ 的直线。

综上所述，$k$ 的值可以为 $\frac{1}{2}$ 或 $-\frac{1}{2}$。由于题目只要求填“一个取值”，任选其一填入即可。

方法二：几何性质法（临场快速求解）

由双曲线方程 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 可知，$a=2,b=1$。 令右侧常数归零 $\frac{x^2}{4}-y^2=0$，直接解出双曲线的两条渐近线方程为： $y=\pm \frac{1}{2}x$ 其标准斜率基准值为 $\pm \frac{1}{2}$。 直线 $y=k(x-3)$ 恒过定点 $P(3,0)$，由于右顶点为 $(2,0)$，该点严格位于双曲线右支的内凹腹地。根据圆锥曲线的几何动力学特征，从双曲线开口内部发射的直线，如果想要有且仅有一个交点，其运动方向只能与两条渐近线严格平行（若偏转任何一丁点角度，都会射穿双曲线的对侧分支产生双交点）。 所以，直线的斜率 $k$ 必然严格等于渐近线的斜率。 即 $k=\pm \frac{1}{2}$。

【答案】：$\frac{1}{2}$ （或 $-\frac{1}{2}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与双曲线的位置关系判定、一元方程简化退化机制、双曲线渐近线斜率的几何意义。
2. 核心方法：代数分类讨论法、几何定点扫描法。
3. 避坑指南：

• 机械套用公式：这是高考解析几何中最经典的“思维陷阱”之一。大量考生看到“唯一公共点”便条件反射令 $\Delta =0$，直接忽略了二次项系数 $1-4k^2=0$ 的特殊机制，从而导致考场颗粒无收。
• 考场口诀默念：“直线圆锥求交点，莫忘二次项为零”。联立化简后，首要动作是把二次项系数拎出来单独讨论。

📖 【试题探源与推广】

1. 试题探源: 本题源于教材选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中直线与双曲线位置关系的课后探究题。旨在考查判别式法则的适用边界，是经典的思维严谨度定级题。
2. 结论推广: （直线与三大圆锥曲线“唯一个交点”的代数与几何图象对齐网）：

• 对于椭圆：只有一个交点 $⟺$ 严格相切 $⟺\Delta =0$（由于图形封闭，无发散渐近线，无特例）。
• 对于双曲线：只有一个交点包含两种完全独立的代数机制：一是相切（ $\Delta =0$ ）；二是直线与任意一条渐近线平行（二次项系数为0，即 $k=\pm \frac{b}{a}$ ）。
• 对于抛物线：只有一个交点同样包含两种完全独立的代数机制：一是相切（ $\Delta =0$ ）；二是直线与抛物线的对称轴严格平行或重合（二次项系数为0）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程
• 2014-新课标II卷理-16 填-直线与圆
• 2021-天津卷-18 解-椭圆综合