本题导读
本题考查抛物线的标准方程与几何性质，以及圆的标准方程。
📌【题干】
Question
（2024年天津卷）圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合，两曲线与第一象限交于点 ，则原点到直线 的距离为 ______.
🔍【思路分析】
破题导航
- 确定抛物线方程：从圆的标准方程 直接读取出圆心坐标为 。由圆心与抛物线焦点 重合，将圆心与抛物线标准焦点 建立等量关系，求出参数 并确定抛物线方程。
- 联立方程求解交点：将抛物线方程 整体代入圆的方程中，使其转化为关于 的一元二次方程，结合“第一象限（）”的范围限制筛选出点 的坐标。
- 点到直线距离求解：已知 两点坐标，利用两点式或点斜式求出直线 的方程。将其化简为一般式 ，最后代入点到直线的距离公式求出原点到该直线的距离。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
第一步：求出抛物线方程与焦点 坐标
已知圆的标准方程为： 其圆心坐标为： 。
因为圆心与抛物线 的焦点 重合，且标准抛物线的焦点坐标为： 。 建立方程：
解得抛物线的标准方程为： ，焦点 的精确坐标为： 。
第二步：联立方程求解第一象限交点 坐标
组建圆与抛物线的联立方程组：
将方程②中的 代入方程①中，消去变量 ： 展开完全平方式并合并同类项：
因式分解得：
由于抛物线要求自变量满足 ，故负根 舍去。锁定横坐标为： 。
将 代入方程②中求纵坐标： 由于题目明确限制“交点 位于第一象限”（要求 ），故排除 。 由此确定交点 的唯一坐标为： ．
第三步：写出直线 的标准方程并求解距离
已知直线通过的两点坐标为 ， ． 首先计算该直线的斜率 ：
套用直线的点斜式方程，选择过点 展开：
两端同时乘以 3 去分母，并规范整理为标准一般式方程：
最后，求原点 到该直线 的距离 。 套用点到直线的距离通式：
【答案】：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：圆心坐标与抛物线焦点坐标的等量变换、二次联立方程组的整体代换消元、点到直线距离公式的运用。
- 核心方法：代数整体消元代换法。
- 避坑指南：
- 忽视隐含范围导致多解：在求出 和 后，需要注意抛物线 隐含的自变量范围 ，及时剔除不合题意的负根。
- 直线未化为一般式：在使用点到直线距离公式前，必须把直线方程整理成标准一般式 的构型，防止因系数错位导致分子或分母计算错误。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题源自教材中抛物线与圆位置关系的综合运用题，主要考查解析几何中多曲线相交时交点坐标的求解以及两点连线公式等解析几何基本功。
- 结论推广：在解析几何的综合考查中，圆与抛物线联立所推导出的方程不仅可以用于求交点，也是判定圆与抛物线交点个数的关键。掌握将几何交点数量问题转化为一元二次方程根的分布规律，是解决此类解析几何小题的通用思路。
🔗【关联脉络】
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