本题导读
本题考查平面向量基本定理，以及数量积的坐标与代数表示。
📌【题干】
Question
（2024年天津卷）在正方形 中，边长为 1. 为线段 的三等分点， ， ，则 ______；若 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最小值为 ______.
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一空（基底表示）：
- 由 且 在线段 上，可知 。
- 利用向量加法的三角形法则，将 分解为沿正方形边缘的向量： 。再将 转化为基底 ，比对系数确定 与 的值。
- 第二空（数量积最值）：
- 方法一（代数坐标建系法，推荐）：由于正方形具备两轴垂直的结构，可以顶点 为原点建立平面直角坐标系。写出相关各顶点的坐标，确定线段 所在的直线方程与自变量的取值区间。设动点 的横坐标为 ，写出其随动坐标，进而由中点公式确定点 的坐标。将数量积 表示为关于参数 的一元二次函数，在其自变量闭区间内求出最小值。
- 方法二（正交基底法）：选择 和 作为基底，将动点 在线段 上的滑动转化为共线向量关系 。将目标向量打散为基底形式进行数量积展开，化简为关于 的二次函数求区间最值。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
📌 第一空：求解基底表示系数
在正方形 中，边长为 1。
因为 ，且点 在线段 上，说明线段 被分成 3 份，其中 占 2 份， 占 1 份。
故有：
由于在正方形中，边向量满足 ，所以：
利用向量加法的三角形法则，将 进行拆分解构：
对照题干给出的表达式 ，比对系数可得：
📌 第二空：求解数量积 的最小值
方法一：平面直角坐标系建系法（推荐）
第一步：架设直角坐标系，标定各顶点坐标
以正方形的左下角顶点 为坐标原点 ，以射线 方向为 轴正方向，以射线 方向为 轴正方向，建立标准平面直角坐标系。
根据正方形边长为 1，各顶点的坐标为：
因为点 在线段 上，且靠近 点满足 ，因此点 的横坐标为 ，纵坐标与 齐平恒为 1，即：
第二步：确定线段 所在直线方程与动点 的自变量区间
线段的两个端点坐标为 和 。
计算直线 的斜率 ：
写出直线 的轨迹方程：
因为动点 限制在线段 上（包含端点），当点 从端点 滑动到端点 时，其横坐标 的实际变动闭区间为：
设动点 的横坐标为变量 ，则其纵坐标为 。即 ，其中 。
第三步：确定中点 坐标与目标向量的分量形式
已知 ， ，点 为线段 的中点。
套用中点坐标公式得：
将向量用坐标表示：
第四步：将数量积转化为二次函数并求解最值
套用平面向量数量积的坐标公式：
令核心二次函数为 ，自变量受限于闭区间 。
该二次函数的抛物线开口向上，对称轴位置为：
比对对称轴 与自变量的实际区间 （ ）：
因为 ，说明取值区间整体位于对称轴的右侧。
根据二次函数的性质，在对称轴右侧，函数 单调递增。因此自变量 取区间左端点 时，数量积取得全域最小值：
(注：此时由于 ，对应的动点 与顶点 重合)。
方法二：正交基底向量法
选择基底 和 。由正方形性质知 。
由于 在线段 上，引入参数 ，设：
将目标向量转化为基底表达式：
计算数量积展开式（基底正交，交叉项积为 0）：
该关于 的二次函数开口向上，对称轴为 。
由于限制条件为 ，整个有效区间位于对称轴左侧，函数在此区间单调递减。
故在右端点 处取得全域最小值：
【答案】： ；
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：平面向量基本定理的线性拆解、正方形垂直构造下的代数坐标化、闭区间上二次函数单调性最值控制。
- 核心方法：平面直角坐标建系消元法、正交基底法。
- 避坑指南：
- 动点横坐标生存区间的范围写错：在方法一中，设出 后，需明确自变量 的取值范围。线段 在 轴上的体现区间是从 的横坐标 到 的横坐标 1。若误将区间扩大为 ，由于对称轴 落在区间内部，最值会在顶点 处被错误取得。
- 复杂分数系数组合运算失误：本题无论在代数坐标展开还是基底项归拢中，系数中都包含 等分数。计算过程中应注意通分的严密性，避免心算失误。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题考查平面向量基本定理与数量积的综合应用，属于高考填空题板块中用于区分中高分段考生的几何代数跨界创新压轴构型。
- 结论推广：在面对规则图形（如矩形、正方形、等腰直角三角形等）时，通过架设直角坐标系、注入坐标算子，可以将复杂的几何位形转化为朴素的多项式代数运算，有效应对动点和中点交织的向量最值问题。
🔗【关联脉络】
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