2024-新高考I卷-03 单-向量的坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算与垂直关系. 核心突破口在于利用向量垂直的充要条件（数量积为零）建立关于未知数 $x$ 的二次方程并求解.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）已知向量 $\vec{a}=(0,1)$，$\vec{b}=(2,x)$.若 $\vec{b}\perp (\vec{b}-4\vec{a})$，则 $x=$()

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 明确垂直条件：向量垂直的充要条件是它们的数量积（点积）等于 0，即 $\vec{u}\perp \vec{v}⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$.
2. 方法选择：

• 解法一（坐标法）：先求出复合向量 $\vec{b}-4\vec{a}$ 的坐标，再与 $\vec{b}$ 做数量积. 解法二（分配律法）：利用数量积的分配律展开 $\vec{b}\cdot (\vec{b}-4\vec{a})=|\vec{b}{|}^2-4\vec{a}\cdot \vec{b}$，再代入坐标.

3. 方程求解：建立关于 $x$ 的一元二次方程，求解得出结论.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解法一：坐标运算法（直观推荐）

1. 计算复合向量坐标： $\vec{b}-4\vec{a}=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4)$.

2. 利用垂直关系列方程： 因为 $\vec{b}\perp (\vec{b}-4\vec{a})$，所以 $\vec{b}\cdot (\vec{b}-4\vec{a})=0$.

3. 坐标代入计算： $(2,x)\cdot (2,x-4)=2\times 2+x(x-4)=0$. $4+x^2-4x=0$.

4. 整理与求解： $(x-2{)}^2=0⟹x=2$. 故选：D.

解法二：向量分配律法（性质法）

1. 展开数量积表达式： $\vec{b}\cdot (\vec{b}-4\vec{a})=\vec{b}\cdot \vec{b}-4\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{b}{|}^2-4\vec{a}\cdot \vec{b}=0$.
2. 代入坐标模长及积： $|\vec{b}{|}^2=2^2+x^2=4+x^2$. $\vec{a}\cdot \vec{b}=0\times 2+1\times x=x$.
3. 建立方程： $4+x^2-4x=0⟹(x-2{)}^2=0$.解得 $x=2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量垂直的数形同构关系（ $\vec{u}\perp \vec{v}⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ ）、向量坐标线性组合、数量积分配律的基本应用。
2. 核心方法：几何关系代数化与一元方程消元流。在平面向量中，处理最值、夹角或垂直问题时，核心策略在于通过坐标基底或向量运算律，将几何的抽象位置特征快速翻译为“含有实数自变量的整式方程或不等式”，通过一元多项式的标准求解达成目的。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（去括号时忘记向量乘法规律）：部分考生在利用分配律展开 $\vec{b}\cdot \vec{b}$ 时，极易想当然地将其记为普通的字母平方，忽视了 $\vec{b}\cdot \vec{b}=|\vec{b}{|}^2$ 这一模长平方的物理本质。虽然在坐标化后数值相等，但基础概念的严密性是防范推广大题丢分的底座。
• 避坑指南 2（二次方程求解符号笔误）：在解方程 $x^2-4x+4=0$ 时，个别同学在草稿纸上由于书写仓促，容易看错一次项的负号，将其配方为 $(x+2{)}^2=0$，从而误选 A。越是全卷前方的基础题，落笔越要保持稳健的核对习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版必修第二册第六章《平面向量及其应用》中“平面向量的数量积”章节后的基础过关训练题。命题组通过指派最简单的基底（其中 $\vec{a}$ 特别设计为含有零元的 $y$ 轴单位向量形式），剔除了复杂的繁琐数据负载，旨在纯粹考查新高考评价体系中对“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的底层夯实度。
2. 结论推广: 将此类垂直约束方程模型提炼为一般模型：设已知两平面向量 $\vec{a}=(0,\lambda )$， $\vec{b}=(d,x)$。若满足正交关系 $\vec{b}\perp (\vec{b}-k\vec{a})$，经过通用代数配方展开，其未知参数 $x$ 恒满足极规整的二次齐次完全平方对流式：$x^2-k\lambda x+d^2=0$当题目如本题一样，特意设定满足判别式 $\Delta =(k\lambda {)}^2-4d^2=0$ 的临界状态时，未知参数 $x$ 拥有唯一的重根，即：$x=\frac{k\lambda }{2}$代入本题数据（ $k=4,\lambda =1,d=2$ ）验证： $x=\frac{4\times 1}{2}=2$，这一规律能帮助在考场上快速求解。
3. 方法推广: 本题所展现的将几何正交垂直特征（ $\angle =90^{\circ }$ ）翻译为数量积零值方程、再通过配方消去无理根式的思想，是贯穿整个高中解析的黄金基本保障。未来当这一考点从高一的“简单向量客观题”推广到高二选择性必修第一册中的“直线与圆锥曲线相交，动弦对定点张角为直角（如证明 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ ）”或者“立体几何中利用空间向量证明线面垂直”的压轴大题中时，其底层的方法——“将所有正交垂直隐式全部坐标化，通过提取公因式和二次型消元求解未知参数”，其操作本质完全合流。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算