2024-新高考I卷-07 单-正弦函数的交点

本题导读

本题考查三角函数图像的综合应用. 核心在于通过分析两个正弦函数的周期、振幅及相位差异，在同一坐标系中利用数形结合直观判定交点个数.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）当 $x\in [0,2\pi ]$ 时，曲线 $y=\sin x$ 与 $y=2\sin (3x-\frac{\pi }{6})$ 的交点个数为()

A. $3$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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1. 确定函数特征：

• $y_1=\sin x$：振幅为 1，周期为 $2\pi$. $y_2=2\sin (3x-\frac{\pi }{6})$：振幅为 2，周期 $T=\frac{2\pi }{3}$，相位向右平移了 $\frac{\pi }{18}$.

2. 划分区间分析：在 $[0,2\pi ]$ 范围内，$y_1$ 只有一个完整周期，而 $y_2$ 有 3 个完整周期.
3. 数形结合：由于 $y_2$ 的振幅（2）大于 $y_1$ 的振幅 （1），$y_2$ 的图像会反复穿过 $y_1$ 的上下边界.
4. 计数交点：通过观察或精确描点，确定在 $y_2$ 的每个小周期内与 $y_1$ 产生的交点数量.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：周期与振幅分析

• 函数 $f(x)=\sin x$ 在 $[0,2\pi ]$ 上经历一个完整的“波峰-波谷”.
• 函数 $g(x)=2\sin (3x-\frac{\pi }{6})$ 的周期为 $\frac{2\pi }{3}$。在 $[0,2\pi ]$ 区间内，它恰好包含 3 个完整的周期：$[0,\frac{2\pi }{3}]$，$[\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}]$，$[\frac{4\pi }{3},2\pi ]$.

第二步：分段观察交点 由于 $g(x)$ 的最大值是 2，最小值是 -2，而 $f(x)$ 波动范围在 $[-1,1]$。这意味着在一个 $g(x)$ 的周期内，它通常会由下向上穿过 $f(x)$ 一次，再由上向下穿过 $f(x)$ 一次. 在 $[0,\frac{2\pi }{3}]$ 内：$g(x)$ 从负值开始上升，穿过 $f(x)$ 到达波峰（2），再下降穿过 $f(x)$。此段有 2 个 交点. 在 $[\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}]$ 内：同理，振幅较大的快震荡函数在慢震荡函数的一个跨度内会产生 2 个 交点. 在 $[\frac{4\pi }{3},2\pi ]$ 内：$g(x)$ 完成最后一个周期，再次产生 2 个 交点.

第三步：精确校对端点 当 $x=0$ 时，$y_1=0$，$y_2=2\sin (-\frac{\pi }{6})=-1$，不重合. 当 $x=2\pi$ 时，$y_1=0$，$y_2=2\sin (6\pi -\frac{\pi }{6})=-1$，不重合. 通过图像细化，总交点数为 $2+2+2=6$.

故选：C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数图象变换（振幅 $A$、周期 $T$、初相 $\varphi$ 对曲线形态的控制）、数形结合思想在超越方程根计数中的应用、连续函数介值定理（零点存在性）的直觉迁移。
2. 核心方法：高频周期分段隔离法。处理两不同频率三角函数在闭区间上的交点个数问题时，最忌讳的是强行使用和差化积或辅助角公式试图去求出精确解。最的解题是以高频（周期小）的函数为基准划分子区间，在每个短周期内部利用“大振幅波形必然双向穿透小振幅波形”的几何直觉进行“升轨+降轨”的成对筛选计数，能确保思维处于绝对的清爽和高效率状态。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（画图敷衍导致肉眼漏计）：部分学生在草稿纸上画图时过于随意，由于没有严格对齐 $y_2$ 的振幅 $\pm 2$ 大于 $y_1$ 的 $\pm 1$ 这一刚性几何特征，草图画得像两条平行缠绕的波浪，极其容易把第三区间的交点漏数，误选了 B。
• 避坑指南 2（误认为端点处存在重合解）：在每段求和时，务必口算复核一下分界点（如 $x=\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$ ）处的函数值。若交点恰好落在分界点上，直接累加会导致该点被重复计数。本题由于端点高度不相等，可放心直接相加。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版必修第一册第五章《三角函数》中“函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象”章节后的综合探究习题。命题组通过将“动态交点计数”这一典型的图论思想与高中最基础的正弦曲线进行缝合，分离了复杂的代数化简，纯粹考查考生在新高考选拔体系中所必备的“数形同构、以形驭数”的宏观直觉力。
2. 结论推广: 将此类“大振幅高频波与标准低频波求交点”的模型提炼为一般模型：设已知两曲线满足 $y_1=\sin x$， $y_2=A\sin (\omega x+\varphi )$ 且自变量 $x\in [0,2\pi ]$。若满足刚性振幅放大约束 $A>1$ 且频率 $\omega$ 为正整数。在忽略微小初相带来的边界极端切点效应下，每一个完整的高频周期 $\frac{2\pi }{\omega }$ 内部，由于 $y_2$ 的上下摆动幅度严格超越 $y_1$，其在上升段与下降段各产生 1 个交点（即单个周期稳定贡献 2 个根）。全域内共有 $\omega$ 个完整周期，故其总交点个数满足近似倍数关系：$\text{总交点数}\approx 2\omega$本题中由于高频系数 $\omega =3$，代入本题数据验证： $\text{总交点数}=2\times 3=6$。记住这一规律，求解此类客观压轴题时可以节省大量时间。
3. 方法推广: 本题所展现的利用周期特征将连续区间离散化、通过单调段“一升一降”两步筛选根的个数的思想，是攻克整张卷客观题后段最坚固的核心Armor。未来当这一考点从高一的“三角函数交点”推广到高三导数压轴大题最后一问中的“探究超越方程 ${\text{e}}^x-\ln x-kx=0$ 的多零点参数范围”、“利用二阶导数符号判定复合三角函数极值点个数”时，其核心思路——“划分核心单调区间，通过控制端点正负符号对齐来实现根的孤立计数”，其技术本质完全合流。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-15 填-辅助角公式
• 2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性
• 2007-四川卷理-16 填-三角函数单调性