2024-新高考I卷-13 填-导数的几何意义

本题导读

本题考查导数在解析几何中的综合应用。核心在于通过已知点求出第一条曲线的切线方程，再利用该直线作为第二条曲线切线的性质，结合导数（斜率）建立方程，最终求得待定参数.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）若曲线 $y={\text{e}}^x+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 的切线，则 $a=$ ______ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出已知切线：对 $y_1={\text{e}}^x+x$ 求导，利用点 $(0,1)$ 求出切线斜率 $k$，进而写出切线方程。
2. 确定第二个切点：已知该切线也是 $y_2=\ln (x+1)+a$ 的切线，说明 $y_2$ 的导数在某点 $x_0$ 处等于该斜率 $k$。
3. 坐标对位：切点 $(x_0,y_0)$ 既在切线上，也在曲线 $y_2$ 上。
4. 解方程求参数：代入坐标求出 $a$。

✅【答案】

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$\ln 2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求第一条曲线在 $(0,1)$ 处的切线方程 设 $f(x)={\text{e}}^x+x$，求导得： $f^{\prime }(x)={\text{e}}^x+1$。 在点 $(0,1)$ 处的切线斜率为 $k=f^{\prime }(0)={\text{e}}^0+1=2$。 则切线方程为：$y-1=2(x-0)$，即 $y=2x+1$。

第二步：求曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 的切点坐标 设该切线与曲线 $g(x)=\ln (x+1)+a$ 相切于点 $(x_0,y_0)$。 对 $g(x)$ 求导： $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}$。 令导数等于切线斜率：$\frac{1}{x_0+1}=2$，解得 $x_0=-\frac{1}{2}$。 由于切点 $(x_0,y_0)$ 在切线 $y=2x+1$ 上，代入得： $y_0=2\times (-\frac{1}{2})+1=0$。 故切点坐标为 $(-\frac{1}{2},0)$。

第三步：代入曲线方程求解 $a$ 由于切点 $(-\frac{1}{2},0)$ 也在曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 上，将其代入： $0=\ln (-\frac{1}{2}+1)+a$ $0=\ln (\frac{1}{2})+a$ $a=-\ln (\frac{1}{2})=\ln 2$。

故填：$\ln 2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何意义的图象同构（ $f^{\prime }(x_0)=k$ ）、直线的点斜式与斜截式转换、两不同曲线公切线模型的切点分离技术。
2. 核心方法：双切点分离参数法。公切线问题是高考的高频常青树。处理此类问题最核心的第一反应是**“切点异构思维”**——两条曲线的切点通常是空间中分离的两个不同坐标点，绝不能混为一谈。正确程序是：先通过已知的一侧切点把直线的具体方程“做死”；再通过第二侧的“斜率等于已知 $k$”和“切点在直线上”两道铁闸联合锁定剩余的未知参数。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（经典的“张冠李戴”致命失误）：部分同学在做题时，由于缺乏双切点意识，误认为点 $(0,1)$ 既是第一条曲线的切点，也是第二条曲线的切点，直接把 $(0,1)$ 粗心代入 $y=\ln (x+1)+a$ 中，算出了 $1=\ln (0+1)+a⟹a=1$。这是公切线中最经典的毁灭性大坑，务必明确同一条直线切两曲线，切点通常各占一侧，坐标完全独立。
• 避坑指南 2（对数项化简符号弄反）：在最后一步处理 $0=\ln (\frac{1}{2})+a$ 时，部分考生容易对倒数变号法则产生混淆，误记为 $\ln (\frac{1}{2})=\ln 2$，从而解出 $a=-\ln 2$，遗憾在胜利的终点线前因为初中算术痛失 5 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版选择性必修第二册第六章《导数及其应用》中“导数的几何意义”章节后的经典进阶公切线拓广母题。新高考命题组去除了传统模拟卷中诸如“求未知双斜率之和、切线交点轨迹”等刻意刁难的二阶复杂计算，回归考查学生对导数底层几何映射网络构建的扎实度，是一道质感极佳、干练纯粹的基础选拔题。
2. 结论推广: （基于反函数形态的“公切线常数位移模型”）：为了丰富您的文献库知识体系，我们可以从更高维的函数对称特征来审视这道题。

• 细细端详这两个函数：曲线一脱去外壳本质是指数波 $y={\text{e}}^x$ 叠加了一条标准正比例线；曲线二脱去外壳本质是对数波 $y=\ln x$ 进行了水平平移。
• 在高等数学中，我们可以提炼出一个通用的**“公切线平行对流模型”：设已知两曲线满足 $y={\text{e}}^x+x$ 与 $y=\ln (x+d)+a$。若它们共享同一条斜率为 $k$ 且截距为 $b$ 的公切线，则其对应的两个独立切点横坐标 $x_1$ 与 $x_2$ 恒刚性满足如下整式网络： ${\text{e}}^{x_1}+1=\frac{1}{x_2+d}=k$
• 此时，参数 $a$ 恒对应于曲线间通过切面切轨抵消后的截距差。收录这一“公切线分离网络”到文献库中，未来在面对任何指对数复合的公切线填空题时，脑海中可瞬间完成双切点的空间定位，达成简化免笔快速判断。

3. 方法推广: 本题所展现的将空间几何图形的“相切”关系翻译为“切点处导数值等于斜率、坐标值满足直线方程”的方法，是攻克整张卷中后段 35 分导数与解析几何最坚固的核心方法。未来当这一考点从高二的“简单填空题”发展到新高考卷第 17 题的“导数综合压轴大题最后一问，探究双参数切线的全域放缩控制范围”、或者是解析几何中“求动圆与动双曲线相切的边界临界常数”时，其核心思路——“引入整体切点元，通过导数方程消去最高阶非线性项，实现高维方程向一元方程的化归”。掌握这一方法，考场上遇到同类问题便能从容应对。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在
• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数