2024-新高考II卷-06 单-函数与方程

本题导读

本题考查函数的交点与方程的根，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）设函数 $f(x)=a(x+1{)}^2-1$，$g(x)=\cos x+2ax$.当 $x\in (-1,1)$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 恰有一个交点，则 $a=$（ ）

A. $-1$　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　C. $1$　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等价转化：曲线交点问题等价于方程 $f(x)=g(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上有且仅有一个实数解。
2. 分离参数：展开 $f(x)$，将含 $a$ 的项移到等号一侧，尝试分离出 $a$。
3. 构造函数与对称性分析：观察分离后的函数式，判断其奇偶性。
4. 利用“唯一性”解题：若构造的函数是偶函数，且在关于原点对称的区间 $(-1,1)$ 内只有一个解，那么这个解必须是 $x=0$。
5. 代入求解：将 $x=0$ 代入方程，求出 $a$ 的值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：联立方程并整理 由 $f(x)=g(x)$ 得： $a(x+1{)}^2-1=\cos x+2ax$ 展开左侧： $a(x^2+2x+1)-1=\cos x+2ax$ $a{x}^2+2ax+a-1=\cos x+2ax$

第二步：消项与分离参数 消去等式两边的 $2ax$： $a{x}^2+a-1=\cos x$ 将含 $a$ 的项合并： $a(x^2+1)=1+\cos x$ 因为 $x^2+1\ne 0$，所以分离出 $a$： $a=\frac{1+\cos x}{x^2+1}$

第三步：构造函数并分析奇偶性 设辅助函数 $h(x)=\frac{1+\cos x}{x^2+1}$ 计算 $h(-x)$： $h(-x)=\frac{1+\cos (-x)}{(-x{)}^2+1}=\frac{1+\cos x}{x^2+1}=h(x)$ 由于 $h(-x)=h(x)$，故 $h(x)$ 是偶函数，其图像关于 $y$ 轴对称

第四步：利用交点唯一性判定 已知在 $x\in (-1,1)$ 内，$y=a$ 与 $y=h(x)$ 恰有一个交点 由于 $h(x)$ 是偶函数，若 $x_0\ne 0$ 是方程的一个解，则 $-x_0$ 必然也是方程的解 为了保证解的唯一性，唯一的解必须是 $x=0$

第五步：代入求值 将 $x=0$ 代入 $a=h(x)$： $a=\frac{1+\cos 0}{0^2+1}=\frac{1+1}{1}=2$

故选：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性的代数判别与轴对称几何特征、分离参数法在方程根个数问题中的应用、方程根的“成对伴生性”逻辑推理。
2. 核心方法：奇偶对称中心（客观题速解技巧）。在处理带有对称区间的方程唯一个数问题时，若函数具备奇偶性（尤其是偶函数），最聪明的策略是利用其图象的轴对称性进行“解的成对出现规律”。除对称轴处的零根外，其余任何解都必须左右成对出现。利用这一拓扑不变量，可以将繁琐的求导与单调性讨论直接简化转化为端点零值的代入，从而在考场上实现瞬时快速求解。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（盲目求导导致计算计算负担崩溃）：部分同学看到“恰有一个交点”，习惯性套用大题的通用格路，试图对 $h(x)=\frac{1+\cos x}{x^2+1}$ 进行求导。其一阶导数 $h^{\prime }(x)=\frac{-\sin x(x^2+1)-2x(1+\cos x)}{(x^2+1{)}^2}$ 是一个极其臃肿的指三混合超越多项式，在考场极其有限的时间内根本无法分离其零点，从而导致心态爆炸、平白流失分数。
• 避坑指南 2（对称轴判定时忽视区间对称性）：个别考生虽然想到了 $x=0$，但缺乏严密的思维逻辑，忽视了“区间 $(-1,1)$ 关于原点对称”这一大前提。如果题目将区间换成 $(0,2)$，偶函数的伴生解 $-x_0$ 会因为跌出定义域而失效，此时 $x=0$ 甚至不在区间内，盲目套用此方法会引发灾难性的误判。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版选择性必修第二册第六章《导数及其应用》中“利用导数研究方程的根”章节后拓广探索题的拓展形式。新高考命题组去除了传统模拟卷中诸如“构造二次求导、利用零点存在性定理强行夹逼”等晦涩的复杂外壳，转而将视线投向了更本质、更高级的**“代数构型对称美”。本质上，这是高等数学中“算子对称性引发解的退化（Degeneracy）”**在初等函数方程中的一次具体体现。
2. 结论推广: 将此类“对称区间内偶函数共享唯一解”的构型提炼为一般模型：设函数 $H(x)$ 为定义在关于原点严格对称的区间 $(-R,R)$ 上的连续偶函数。若水平直线 $y=C$ 与曲线 $y=H(x)$ 在该区间内恰有奇数个交点（或恰有唯一交点），则可以得到：交点集合中必然包含且核心轴交点 $(0,H(0))$。即常数 $C$ 恒刚性服从如下代数方程：$C=H(0)$记住这一“偶函数奇数根网络”，未来在任何模拟考客观题中看到“偶函数在对称区间有唯一解”，直接令 $x=0$，即可读出答案。
3. 方法推广: 本题所展现的“通过代数消项强行分离未知元、利用图象的轴对称性质直接免除全域求导讨论”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是高一、高二函数交点客观题的常用方法，未来在解答题压轴的“圆锥曲线大题中，利用图形关于坐标轴的轴对称性判定动弦是否恒过定点（如利用对称性判定横坐标必然为 0）”、或者是新定义大题中“利用矩阵的中心对称性进行格点计数消除冗余项”时，其核心思路——“抓住系统的几何对称中心，利用‘解的成对伴生性’或‘符号抵消’实现高维未知空间向一元核心零点的化归”。掌握这一方法，能为您在考场上提供居高临下的较强的解题大局观。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.18 恒成立问题——参变分离法

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-10 单-函数图象识别
• 2013-江苏卷-11 填-函数奇偶性
• 2014-湖北卷理-06 单-定积分运算