2024-新高考II卷-08 单-共零点

本题导读

本题考查函数恒成立问题，以及函数的零点与变号零点性质。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）设函数 $f(x)=(x+a)\ln (x+b)$.若 $f(x)⩾0$ ，则 $a^2+b^2$ 的最小值为（ ）

A. $\frac{1}{8}$　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数结构：$f(x)$ 是由两个因式 $g(x)=x+a$ 和 $h(x)=\ln (x+b)$ 相乘组成的。
2. 零点变号逻辑：
   • $g(x)$ 在 $x=-a$ 处变号（左负右正）。
   • $h(x)$ 在 $x+b=1$，即 $x=1-b$ 处变号（左负右正）。
3. 恒成立条件推导：若要在全定义域内 $f(x)⩾0$，则两个因式必须在同一位置同时改变符号。否则，在两个零点之间，一个因式已变为正值而另一个仍为负值，乘积必小于 0。
4. 建立 $a,b$ 关系：由变号点重合得 $-a=1-b⟹b-a=1$。
5. 求解最小值：利用二次函数的性质或均值不等式求 $a^2+b^2$ 的最小值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

思路：若函数 $f(x)\ge 0$ 恒成立，其两个因式必须在同一位置同时改变符号

1. 零点分析：令 $x+a=0\Rightarrow x=-a$；令 $\ln (x+b)=0\Rightarrow x=1-b$
2. 变号一致性：
   • 因式 $y=x+a$ 在 $x=-a$ 处变号
   • 因式 $y=\ln (x+b)$ 在 $x=1-b$ 处变号
   • 若 $f(x)\ge 0$ 恒成立，则这两个变号位置必须重合，否则必然存在一正一负的区间导致 $f(x)<0$
3. 建立关系：故 $-a=1-b$，整理得 $b-a=1$
4. 求最小值： $a^2+b^2=\frac{(a-b{)}^2+(a+b{)}^2}{2}\ge \frac{(a-b{)}^2}{2}=\frac{(-1{)}^2}{2}=\frac{1}{2}$ 当且仅当 $a=-\frac{1}{2},b=\frac{1}{2}$ 时等号成立。故选 C

思路：利用 $b=a+1$ 直接转化为一元二次函数求最值

1. 由变号点重合知：$-a=-b+1\Rightarrow b=a+1$
2. 构造函数：$a^2+b^2=a^2+(a+1{)}^2=2a^2+2a+1=2(a+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{2}$
3. 最值判定：显然当 $a=-\frac{1}{2}$ 时，最小值为 $\frac{1}{2}$

思路：通过讨论 $-a$ 与 $1-b$ 的大小关系来判定符合题意的唯一条件 4. 情况分析：

• 若 $-a<1-b$：当 $x\in (-a,1-b)$ 时，$x+a>0,\ln (x+b)<0\Rightarrow f(x)<0$，不合题意
• 若 $-a>1-b$：当 $x\in (1-b,-a)$ 时，$x+a<0,\ln (x+b)>0\Rightarrow f(x)<0$，不合题意

5. 结论：必有 $-a=1-b$，后续计算同解法一

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数恒成立问题的代数充要转化、积函数的变号零点相通特征（符号抵消原理）、二元多项式平方和的单变量消元及最值求解。
2. 核心方法：双因式变号零点相通法（客观题简化Armor）．在处理形式为 $f(x)=g(x)\cdot h(x)⩾0$ 且两个因式均为简单变引穿轴函数的恒成立问题时，最核心的第一反应是寻找两者的变号分界线．因为“正正得正、负负也得正”，系统要保持全域非负，两因式在数轴上变号的步调必须保持的严格合拍．利用“零点重合”这一隐藏的几何硬红线（ $-a=1-b$ ），可以直接跳过所有复杂的二阶导数讨论，将超越函数问题瞬间转化为极简的初中二次函数求最值。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（盲目上二阶导数导致全盘崩溃）：部分基础不错的同学在考场上由于缺乏整体大局观，一看到“函数恒成立”习惯性机械启动“求导流”，试图求 $f^{\prime }(x)=\ln (x+b)+\frac{x+a}{x+b}$ 并令其大于等于 0。其一阶导数是一个极其臃肿的对数与分式的超越复合多项式，无法实行常规的二次分离参数，会导致在草稿纸上引发灾难性的代数计算负担，白白痛失 15 分钟的宝贵时间。
• 避坑指南 2（均值不等式公式套错或等号无法取得）：个别考生试图在第一步直接用 $a^2+b^2⩾2ab$。由于 $a$ 和 $b$ 此时的代数正负性未知，且 $ab$ 的范围无法通过已知式有效锁定，盲目套用此不等式会由于“等号根本无法取得”而算出一个毫无意义的错误下界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题底层源自人教A版选择性必修第二册第六章《导数及其应用》中“利用导数研究函数的恒成立”章节后关于“双因式乘积变号”的经典竞赛母题。新高考命题组极具匠心地抹去了传统模拟卷中诸如“引入超越指数项 ${\text{e}}^x$、强行构造复合极值点”等复杂的生硬包装，转而将考查焦点回归到最朴素、最本源的**“代数符号域的对称抵消”。这在高等数学中属于“零点的奇偶重数与算子正定性”**在初等代数中的一次极简体现。
2. 结论推广: 将此类“线性项与对数项乘积恒非负”的模型提炼为一般模型：设函数 $f(x)=(x-\alpha )\cdot \ln (x-\beta )$ （或指数复合构型 $f(x)=(x-\alpha )({\text{e}}^{x-\beta }-1)$ ）。若要使其在各自合法的全域定义域内无条件满足 $f(x)⩾0$ 恒成立，则该系统的不变量拓扑范围宣告：两因式的穿轴变号点必须发生共振重合。即参数之间恒刚性服从如下一阶线性代数网格：$\alpha =\beta +1$记住这一“变号共振网络”，未来在任何模拟考上只要看到类似的指对数与线性因式相乘恒非负的压轴题，直接让两者的零点对齐，3 秒内即可实现简化快速求解。
3. 方法推广: 本题所展现的“将宏观的函数不等式控制转化为微观的零点位置对齐、引入不变量方程消去未知元”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是选择题压轴题的常用方法，未来在解答题压轴的“导数综合压轴大题中，利用变号零点排伪排除局部单调下跌区间（如利用端点保号性定出临界值）”、或者是解析几何中“通过曲线相切条件令判别式 $\Delta =0$ 锁定特征斜率”时，其核心思路——“抓住符号改变的绝对边界，通过令局部冲突区间项数转化，实现高维超越空间向一元最值的平滑过渡”。掌握这一方法，能为您在考场上面对任何高难度的恒成立问题时，提供居高临下的较强的解题大局观。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-13 填-基本不等式恒成立
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2001-豫粤卷-04 单-对数函数的图象与性质