2013-上海卷文-13 填-基本不等式恒成立

本题导读

本题考查基本不等式，以及恒成立问题。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 设常数 $a>0$.若 $9x+\frac{a^2}{x}⩾a+1$ 对一切正实数 $x$ 成立，则 $a$ 的取值范围为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由基本不等式，$9x+\frac{a^2}{x}⩾2\sqrt{9x\cdot \frac{a^2}{x}}=6a$，取等当 $9x=\frac{a^2}{x}$ 即 $x=\frac{a}{3}>0$。
2. 故左边对一切 $x>0$ 的最小值为 $6a$，且能取到。
3. 条件成立 ⇔ $6a⩾a+1$ ⇔ $5a⩾1$ ⇔ $a⩾\frac{1}{5}$。

✅【答案】

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$a⩾\frac{1}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

由基本不等式（$x>0$，$a>0$）： $9x+\frac{a^2}{x}⩾2\sqrt{9x\cdot \frac{a^2}{x}}=2\times 3a=6a,$ 当且仅当 $9x=\frac{a^2}{x}$，即 $x^2=\frac{a^2}{9}$，$x=\frac{a}{3}$（正根）时取等号。 因此 $9x+\frac{a^2}{x}$ 在 $x>0$ 上的最小值为 $6a$，且可以取到。 于是”$9x+\frac{a^2}{x}⩾a+1$ 对一切正实数 $x$ 成立”等价于 $6a⩾a+1,$ 即 $5a⩾1$，得 $a⩾\frac{1}{5}.$ （$a>0$ 与 $a⩾\frac{1}{5}$ 相容。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式与恒成立

核心方法：$9x+\frac{a^2}{x}⩾2\sqrt{9x\cdot \frac{a^2}{x}}=6a$（$x>0$，$a>0$），取等当 $x=\frac{a}{3}$；对一切 $x$ 成立 ⇔ 最小值 $6a⩾a+1$ → $a⩾\frac{1}{5}$

避坑指南：“对一切正实数 $x$ 成立”的准确翻译是 $f(x)$ 的最小值 $⩾a+1$：$6a$ 是最小值且能取到（$x=\frac{a}{3}$），故不等式与 $6a⩾a+1$ 等价；若忽略取等点是否存在，会把”必要”当”充分”

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“和式最小值 + 参数不等式恒成立”是基本不等式的标准应用，与 2013 四川文 13 的对勾函数取等题同型。

结论推广：$Ax+\frac{B}{a}⩾2\sqrt{AB}$（$x>0$）在 $Ax=\frac{B}{a}$ 时取等；“对一切 $x>0$，$f(x)⩾c$ 成立” ⇔ $\min f⩾c$（当最小值可取到时取等号）。

方法推广：恒成立问题两条路线：参变分离后求最值，或直接比较最小值；用基本不等式时务必指出取等条件，否则只证明了”必要条件”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-13 填-基本不等式取等
• 2013-天津卷文-14 填-基本不等式最值
• 2013-山东卷文-12 单-基本不等式最值