2024-甲卷文-17 解-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式。核心在于$S_n$ 与 $a_n$ 递推消项法、裂项分组求和代数化简法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷文）记 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.已知 $2S_n=3a_{n+1}-3$.

（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\{S_n\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析第（1）问（递推求通项）：

• 题目已知包含 $S_n$ 与 $a_{n+1}$ 的混合递推式。处理此类问题最核心的通法是利用公式 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 消除求和符号。
• 写出 $n+1$ 阶的对应式 $2S_{n+1}=3a_{n+2}-3$，两式相减即可得到关于 $a_{n+2}$ 与 $a_{n+1}$ 的齐次线性递推关系，进而确定公比 $q$。
• 注意验证首项：作差法得到的比值关系通常从 $n⩾2$ 开始成立。必须利用 $n=1$ 时 $S_1=a_1$ 的边界条件求出确切的首项 $a_1$，并核验其是否满足统一的通项结构。

2. 分析第（2）问（复合新数列求和）：

• 将第（1）问求出的通项公式代入等比级数求和公式（或直接利用题干给出的已知关系 $S_n=\frac{3a_{n+1}-3}{2}$），写出 $S_n$ 的显式代数结构。
• 观察发现 $S_n$ 表现为“等比数列项减去一个常数项”的对偶形态。
• 选用分组求和法，将前 $n$ 项和拆分为一个标准的等比级数求和与 $n$ 个常数的累加，最后合并同类项完成化简。

✅【答案】

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(1) $a_n=(\frac{5}{3}{)}^{n-1}$

(2) $T_n=\frac{15}{4}(\frac{5}{3}{)}^n-\frac{15}{4}-\frac{3}{2}n$

✍【详细解析】

Abstract

🛠 （1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式

已知递推关系式为： $2S_n=3a_{n+1}-3\dots \dots \text{(1)}$

将 ① 式中的自变量 $n$ 整体替换为 $n+1$，可得高一阶的对应关系： $2S_{n+1}=3a_{n+2}-3\dots \dots \text{(2)}$

将 ② 式与 ① 式两端分别相减，利用前 $n$ 项和的作差性质 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 消去求和算子： $2\left(S_{n+1}-S_n\right)=\left(3a_{n+2}-3\right)-\left(3a_{n+1}-3\right)$ $2a_{n+1}=3a_{n+2}-3a_{n+1}$

将含有相同下标的项进行移项合并： $5a_{n+1}=3a_{n+2}⟹a_{n+2}=\frac{5}{3}{a}_{n+1}(n⩾1)$

由此可知，自第二项起，数列的后项与前项之比为常数 $\frac{5}{3}$。由于题目已经明确指明 $\{a_n\}$ 是等比数列，因此该数列的公比为： $q=\frac{5}{3}$

接下来求解数列的首项 $a_1$。 在 ① 式中令 $n=1$，利用 $S_1=a_1$ 的几何边界条件： $2S_1=3a_2-3⟹2a_1=3a_2-3\dots \dots \text{(3)}$

由于公比 $q=\frac{5}{3}$ 适用于整个等比数列，故满足 $a_2=q{a}_1=\frac{5}{3}{a}_1$。将此代入 ③ 式： $2a_1=3\times \left(\frac{5}{3}{a}_1\right)-3⟹2a_1=5a_1-3$ $3a_1=3⟹a_1=1$

由此确证首项 $a_1=1$，公比 $q=\frac{5}{3}$。 代入等比数列通项公式标准型： $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\times {\left(\frac{5}{3}\right)}^{n-1}={\left(\frac{5}{3}\right)}^{n-1}$

🛠 （2）求数列 $\{S_n\}$ 的前 $n$ 项和

📌 途径一：利用题干条件直接转化（最速提速技巧） 由第（1）问计算出的通项公式，可知下一项满足： $a_{n+1}={\left(\frac{5}{3}\right)}^n$。 直接代入题干给出的固有等式 $2S_n=3a_{n+1}-3$ 中，反解出 $S_n$ 的通项解析式： $S_n=\frac{3a_{n+1}-3}{2}=\frac{3}{2}{\left(\frac{5}{3}\right)}^n-\frac{3}{2}\dots \dots \text{(4)}$

📌 途径二：利用求和公式常规展开 代入标准的等比数列求和公式： $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1\times \left[{\left(\frac{5}{3}\right)}^n-1\right]}{\frac{5}{3}-1}=\frac{{\left(\frac{5}{3}\right)}^n-1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}{\left(\frac{5}{3}\right)}^n-\frac{3}{2}$ 两种途径殊途同归。

现在求解新数列 $\{S_n\}$ 的前 $n$ 项和，记为 $T_n=S_1+S_2+\cdots +S_n$。 将 ④ 式的标准变形结构代入求和级数中，采用分组求和法进行拆分： $T_n=\left[\frac{3}{2}{\left(\frac{5}{3}\right)}^1-\frac{3}{2}\right]+\left[\frac{3}{2}{\left(\frac{5}{3}\right)}^2-\frac{3}{2}\right]+\cdots +\left[\frac{3}{2}{\left(\frac{5}{3}\right)}^n-\frac{3}{2}\right]$

将所有含有指数的等比项归为一组，常数项归为第二组： $T_n=\frac{3}{2}\left[{\left(\frac{5}{3}\right)}^1+{\left(\frac{5}{3}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{5}{3}\right)}^n\right]-\left[\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\cdots +\frac{3}{2}\right]$

• 前半部分是一个首项为 $\frac{5}{3}$、公比为 $\frac{5}{3}$ 的标准等比数列求和；
• 后半部分是 $n$ 个常数 $\frac{3}{2}$ 的线性累加，其和直接等于 $\frac{3}{2}n$。

代入求和公式展开化简： $T_n=\frac{3}{2}\times \frac{\frac{5}{3}\left[{\left(\frac{5}{3}\right)}^n-1\right]}{\frac{5}{3}-1}-\frac{3}{2}n=\frac{3}{2}\times \frac{\frac{5}{3}\left[{\left(\frac{5}{3}\right)}^n-1\right]}{\frac{2}{3}}-\frac{3}{2}n$ $T_n=\frac{3}{2}\times \left(\frac{5}{3}\times \frac{3}{2}\right)\left[{\left(\frac{5}{3}\right)}^n-1\right]-\frac{3}{2}n=\frac{3}{2}\times \frac{5}{2}\left[{\left(\frac{5}{3}\right)}^n-1\right]-\frac{3}{2}n$ $T_n=\frac{15}{4}\left[{\left(\frac{5}{3}\right)}^n-1\right]-\frac{3}{2}n=\frac{15}{4}{\left(\frac{5}{3}\right)}^n-\frac{3}{2}n-\frac{15}{4}$

因此，数列 $\{S_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{15}{4}{\left(\frac{5}{3}\right)}^n-\frac{3}{2}n-\frac{15}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用递推式作差消项求通项；复合混合结构（等比加减线性常数）的分组求和法及乘法系数分配律。
2. 核心方法：分组求和法。
3. 避坑指南：

• 作差忽略边界（第 1 问经典翻车点）：很多考生习惯性地直接得出 $a_{n+2}=\frac{5}{3}{a}_{n+1}$ 就宣布公比是 $\frac{5}{3}$。**请注意：只要涉及到 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 的作差法，导出的递推关系第一步默认只能从 $n⩾2$ 开始成立。**本题由于题目直接给定了“等比数列”的大前提，所以可以直接确认公比适用全域；如果题目没有说明数列类型，必须单独验证 $a_2$ 与 $a_1$ 的比值是否等于 $\frac{5}{3}$，否则容易漏掉“从第二项起成等比数列”的断层陷阱。
• 在第（2）问的计算中，拆项系数的乘法运算较多。比如 $\frac{3}{2}\times \frac{5}{3}\times \frac{3}{2}$，运算时极易因粗心算错分子分母导致最终常数项扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2024年全国甲卷高考文科数学第17题。属于全卷解答题（大题）部分的第二大题，是一道极其标准的数列章节主干综合计算题。题目设置梯度合理，从最基本的消和求通项起步，在第二问中考查了经典的非齐次级数的分组求和，全面检验考生的代数公式推演抗压能力。
2. 结论推广： 在级数求和与一阶差分方程流形中，本题第（2）问的结构可推广为**“非齐次等比和集二次级数不变量定理”**： 已知等比级数项 $S_n$ 的显式流形满足 $S_n=A\cdot q^n-A$ （其中 $q\ne 1$ 且 $A$ 为常数）。 则该新数列的前 $n$ 项和 $T_n$ 的结构具有极强的特征刚性，其化简后的最终解析形态恒表现为如下完全对称的三项式组合，不受具体初值干扰： $T_n=\frac{A\cdot q}{q-1}{q}^n-A\cdot n-\frac{A\cdot q}{q-1}$ 本题中由 ④ 式可知 $A=\frac{3}{2},q=\frac{5}{3}$。直接带入不变量特征系数： $\text{第一项系数}=\frac{\frac{3}{2}\times \frac{5}{3}}{\frac{5}{3}-1}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{2}{3}}=\frac{15}{4}$ 代回通式，瞬间心算快速求解出最终结果： $T_n=\frac{15}{4}{\left(\frac{5}{3}\right)}^n-\frac{3}{2}n-\frac{15}{4}$。利用此不变量规律可在大题最后一步实现零风险的盲视核验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-江西卷理-03 单-等比中项
• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项