本题导读
本题考查函数的奇偶性，以及图象识别。
📌【题干】
Question
（2024年甲卷理）函数 在区间 的图象大致为（ ）
🔍【思路分析】
破题导航
- 对称性筛查：分析函数 的奇偶性。校验 与 的代数关系，若为偶函数则关于 轴对称，若为奇函数则关于原点对称，据此排除不满足对称特征的选项。
- 特征点筛选：在确定图象关于 轴对称后，选取特殊值 进行局部数值估算。通过判定 的正负号，从而确定正确选项。
✅【答案】
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B
✍【详细解析】
Abstract
第一步：利用因式性质判定复合函数的奇偶性
已知函数解析式为： ，其定义域为 ，关于原点对称。
将自变量 整体替换为 ：
根据基本初等函数的性质，恒有 且 ，代入得：
对中间的指数因式提取负号，将其重组还原：
利用负负得正的乘法规则，消去符号：
由于 恒成立， 故 为标准的偶函数。 根据几何性质，其全域函数图象必须严格关于 轴呈现轴对称，据此可排除关于原点对称（奇函数）或不对称的选项。
第二步：选取特殊点 实施数值估算
为了在对称图象中锁定答案，切入特征点 （弧度）进行代数估算：
引入数学基本常数 ：
关于 （ 弧度约为 ），由于 ，可知 （精确值 ）。
将估算分量合并乘积：
代入原式计算最终符号：
该特征表明：图象在 处的函数值必须严格为正。比对选项，排除在 处下陷为负的图象，锁定正确答案。
【答案】：B (以真题实际对应选项为准)
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：复合函数奇偶性的判定、弧度制下三角函数值的范围估算、函数图象特征辨析。
- 核心方法：奇偶性排除法与特殊值代入法。
- 避坑指南：
- 弧度制混淆：在估算 时，部分考生容易下意识将其等价为 ，误认为 ，从而算出 导致误选。必须明确在没有角度符号“”时，自变量单位恒为弧度（）。
- 负号提取：在提取 的负号时需注意括号内各项的符号变化，防止因符号错误而错判奇偶性。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题考查函数的性质与图象，属于高考选择题中的中档题。题目通过将经典双曲正弦函数变体 与正弦函数 复合，考查考生对函数图象特征的综合控制力。
结论推广：对于任意复合函数 ，若 为已知偶函数，当 与 均为奇函数时，根据“奇函数 奇函数 = 偶函数”的规律，其乘积项 必为偶函数，从而整个函数 恒为偶函数（关于 轴对称）；若 与 为一奇一偶，则乘积项为奇函数。掌握此规律可快速确定函数图象的对称面。
🔗【关联脉络】
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