2024-甲卷理-14 填-圆台体积

本题导读

本题考查圆台的几何性质与体积，以及勾股定理。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）已知圆台甲、乙的上底面半径均为 $r_{1}$ ，下底面半径均为 $r_{2}$ ，圆台甲、乙的母线长分别为 $2 (r_{2} - r_{1})$ ， $3 (r_{2} - r_{1})$ ，则圆台甲与乙的体积之比为 _______________.

🔍【思路分析】

破题导航

抓不变量（体积比只看高）：甲、乙两圆台的上下底面半径完全相同，代入圆台体积公式 $V = \frac{π h}{3} (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$ 后，除 $h$ 外的各量完全相同，故体积比即为高之比。

母线定高（轴截面勾股）：圆台轴截面中，母线、高、上下底面半径差构成直角三角形，即 $l^{2} = h^{2} + (r_{2} - r_{1})^{2}$ ，由两条母线长分别反解出两圆台的高。

作比化简：分别求得两圆台的高，作比后代入，注意结果分母有理化。

✅【答案】

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$\frac{6}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

🛠 第一步：明确体积比的结构

甲、乙两圆台的上底面半径均为 $r_{1}$ ，下底面半径均为 $r_{2}$ ，由圆台体积公式 $V = \frac{π h}{3} (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$ 可知两者除高 $h$ 外的各量完全相同，故 $V_{1} : V_{2} = h_{1} : h_{2}$ ，其中 $V_{1}$ 、 $h_{1}$ 属于圆台甲， $V_{2}$ 、 $h_{2}$ 属于圆台乙。

🛠 第二步：由母线长求两圆台的高

圆台的母线 $l$ 、高 $h$ 与半径差 $r_{2} - r_{1}$ 构成直角三角形： $l^{2} = h^{2} + (r_{2} - r_{1})^{2} ⟹ h = l^{2} - (r_{2} - r_{1})^{2}$

对甲，母线长 $l_{1} = 2 (r_{2} - r_{1})$ ： $h_{1}^{2} = 4 (r_{2} - r_{1})^{2} - (r_{2} - r_{1})^{2} = 3 (r_{2} - r_{1})^{2} ⟹ h_{1} = 3 (r_{2} - r_{1})$

对乙，母线长 $l_{2} = 3 (r_{2} - r_{1})$ ： $h_{2}^{2} = 9 (r_{2} - r_{1})^{2} - (r_{2} - r_{1})^{2} = 8 (r_{2} - r_{1})^{2} ⟹ h_{2} = 22 (r_{2} - r_{1})$

🛠 第三步：作比并化简

$V_{1} : V_{2} = \frac{h _{1}}{h _{2}} = \frac{3 ( r _{2} - r _{1} )}{2 2 ( r _{2} - r _{1} )} = \frac{3}{2 2} = \frac{6}{4}$

故圆台甲与乙的体积之比为 $\frac{6}{4}$ .

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆台体积公式、轴截面几何特征。

核心方法：比例化简法、整体代换。

避坑指南：结果必须进行分母有理化；注意勾股定理中减去的是“半径差的平方”而非单一半径。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 课本立体几何圆台体积与轴截面性质的基础题型，纯粹考查空间几何体基本量的代数运算。

结论推广: 上下底面相同的同类旋转体（圆台、圆柱、圆锥），其体积比恒等于对应的高之比。引入中间变量 $Δ r = r_{2} - r_{1}$ 整体代换，可快速规避繁琐的参数化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积

2012-新课标卷文-07 单-三视图体积

2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积

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2024-甲卷理-14 填-圆台体积

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💡【考点归纳与避坑指南】

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