2025-上海卷-10 填-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算规律及其在复平面内的几何意义. 通过将抽象的复数方程转化为直角坐标系下的几何轨迹，结合距离公式求解动点到定点距离的最值，是上海卷复数与解析几何结合的常考题型.

📌【题干】

Question

（2025年上海卷）已知复数 $z$ 满足 $z^2=(\overline{z}{)}^2$，$|z|⩽1$，则 $|z-2-3i|$ 的最小值是 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

本题的核心在于“化隐为显”，将复数条件翻译为几何轨迹：

1. 确定轨迹方程：设 $z=a+bi$，代入 $z^2=(\overline{z}{)}^2$ 寻找 $a,b$ 的等量关系.
2. 限定范围：结合 $|z|⩽1$（即点到原点的距离不超过 1）确定动点 $Z(a,b)$ 的活动区域.
3. 转换目标：将 $|z-(2+3i)|$ 理解为轨迹上的动点 $Z$ 到定点 $P(2,3)$ 的距离.
4. 寻找最值：利用几何直观（或二次函数单调性）比较动点在不同轨迹分支上到定点 $P$ 的最短距离.

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

1.推导复数 $z$ 的轨迹 设 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，则其共轭复数为 $\overline{z}=a-bi$ 由 $z^2=(\overline{z}{)}^2$ 得： $(a+bi{)}^2=(a-bi{)}^2$ 展开整理： $a^2-b^2+2abi=a^2-b^2-2abi$ $4abi=0⟹ab=0$ 由此可知：$a=0$ 或 $b=0$. 这意味着点 $Z$ 落在复平面的实轴或虚轴上.

2.结合限制条件确定范围 已知 $|z|⩽1$，即 $\sqrt{a^2+b^2}⩽1$：

• 若 $b=0$，则 $a^2⩽1⟹-1⩽a⩽1$（实轴上的线段）.
• 若 $a=0$，则 $b^2⩽1⟹-1⩽b⩽1$（虚轴上的线段）. $z$ 的轨迹是复平面内以原点为中心、长度为 2 的“十字架”形区域.

3.求解距离最小值 目标式 $|z-(2+3i)|$ 表示动点 $Z(a,b)$ 到定点 $P(2,3)$ 的距离 $d=\sqrt{(a-2{)}^2+(b-3{)}^2}$. 在实轴分支上 ($b=0,a\in [-1,1]$)： $d_1^2=(a-2{)}^2+(0-3{)}^2=(a-2{)}^2+9$. 当 $a=1$ 时（最靠近 $P$ 的横坐标），$d_1^2$ 取得最小值 $(1-2{)}^2+9=10$，即 $d_1=\sqrt{10}$. 在虚轴分支上 ($a=0,b\in [-1,1]$)： $d_2^2=(0-2{)}^2+(b-3{)}^2=4+(b-3{)}^2$. 当 $b=1$ 时（最靠近 $P$ 的纵坐标），$d_2^2$ 取得最小值 $4+(1-3{)}^2=8$，即 $d_2=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

4. 比较得出结论 因为 $\sqrt{8}<\sqrt{10}$，所以最小距离为 $2\sqrt{2}$.

故填：$2\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 复数模的性质：$|z_1-z_2|$ 的几何意义是两点间距离.

• 共轭复数运算：$\overline{z^n}=(\overline{z}{)}^n$.

2. 方法总结：

• 复数几何化：熟练掌握常见轨迹。$z^2=(\overline{z}{)}^2$ 等价于 $z^2$ 是实数，即 $z$ 的辐角为 $k\frac{\pi }{2}$.

• 距离最值判定：在求点到线段距离时，若定点在所在直线上的投影不在段内，最小值必在端点处取得。本题 $P(2,3)$ 的坐标均超出了 $[-1,1]$ 范围，故在端点 $(1,0)$ 或 $(0,1)$ 处取最值.

3. 避坑指南： 不要漏掉其中一轴。有些考生只考虑实轴或虚轴，会导致比较缺失.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若方程变为 $z^2=-(\overline{z}{)}^2$，则轨迹为直线 $y=\pm x$.

2. 方法的推广:

• 辐角法：利用 $z=r{e}^{i\theta }$，则 $z^2=r^2{e}^{i2\theta }$，$(\overline{z}{)}^2=r^2{e}^{-i2\theta }$。由 $e^{i2\theta }=e^{-i2\theta }$ 得 $4\theta =2k\pi ⟹\theta =k\frac{\pi }{2}$，直接得出坐标轴结论.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集