2025-上海卷-14 单-指数函数的性质

本题导读

本题考查指数函数的单调性及其不等式的应用. 核心在于通过底数 $a$ 的范围确定函数的增减性，并结合逻辑推理判断充分条件，是上海卷考查函数基本性质的经典选择题.

📌【题干】

Question

（2025年上海卷）设 $a>0$，$s\in \mathbb{R}$.下列各项中，能推出 $a^s>a$ 的一项是()

A. $a>1$，且 $s>0$　　　　　　　　　　B. $a>1$，且 $s<0$

C. $0<a<1$，且 $s>0$　　　　　　　　D. $0<a<1$，且 $s<0$

🔍【思路分析】

破题导航

本题实质是比较 $a^s$ 与 $a^1$ 的大小. 根据指数函数 $y=a^x$ 的性质，大小关系严格受底数 $a$ 影响：

1. 当 $a>1$ 时：函数 $y=a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。若 $a^s>a^1$，则需满足 $s>1$.
2. 当 $0<a<1$ 时：函数 $y=a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。若 $a^s>a^1$，则需满足 $s<1$.
3. 逻辑判定：题目要求找出一个能“推出”结论的选项，即寻找 $a^s>a$ 的一个充分条件.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

函数性质法（逻辑推导）

1. 分析条件 $a^s>a^1$：

• 若 $a>1$，结论成立的充要条件是 $s>1$.

• 若 $0<a<1$，结论成立的充要条件是 $s<1$.

2. 逐项核对充分性：

• A项：$s>0$ 不能保证 $s>1$（例如 $s=0.5$ 时不满足），故不能推出.

• B项：$s<0$ 与 $s>1$ 矛盾，故不能推出.

• C项：$s>0$ 不能保证 $s<1$（例如 $s=2$ 时不满足），故不能推出.

• D项：已知 $s<0$，显然有 $s<1$。在 $0<a<1$ 的前提下，$s<1⟹a^s>a^1$。故该项能推出结论.

特值法（快速排除）

• 排除A：取 $a=2,s=0.5$，则 $a^s=\sqrt{2}\approx 1.414<2$，不满足 $a^s>a$.
• 排除B：取 $a=2,s=-1$，则 $a^s=0.5<2$，不满足 $a^s>a$.
• 排除C：取 $a=0.5,s=2$，则 $a^s=0.25<0.5$，不满足 $a^s>a$.
• 验证D：取 $a=0.5,s=-1$，则 $a^s=(0.5{)}^{-1}=2>0.5$，满足条件.

**故选：D **

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 对数不等式：${\log }_{a}x>{\log }_{a}y$ 同样遵循底数分类讨论的原则.

• 单调性准则：处理 $a^x>a^y$ 类型问题时，必须先看底数确定增减性.

• 底数大于 1：指数与幂值方向相同.

• 底数在 0 到 1 之间：指数与幂值方向相反.

2. 方法总结：

• 充分性的理解：题目问的是“能推出”，即寻找命题 $P⟹Q$ 中的 $P$。$P$ 不需要是 $Q$ 的必要条件，只要 $P$ 成立时 $Q$ 必定成立即可。在本题中，$s<0$ 是 $s<1$ 的真子集，体现了充分不必要条件的关系.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 对于幂函数 $y=x^s$（$x>0$），若 $s>0$ 则为增函数；若 $s<0$ 则为减函数.

2. 方法的推广:

• 中间值法：在比较不同底数、不同指数的幂值大小时（如 $0.8^{0.7}$ 与 $1.1^{0.8}$），常引入 $1$ 或 $0$ 作为参照物进行桥接.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-江西卷文-13 填-指数不等式解集
• 2009-湖南卷理-01
• 2010-上海卷文-21 解-Sn与an递推等比