2008-江西卷文-13 填-指数不等式解集

本题导读

$2^{x^2+2x-4}⩽\frac{1}{2}=2^{-1}$，指数上解 $x^2+2x-3⩽0$.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 不等式 $2^{x^2+2x-4}⩽\frac{1}{2}$ 的解集为　　　.

🔍【思路分析】

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底数 $2>1$，等价于 $x^2+2x-4⩽-1$，即 $(x+3)(x-1)⩽0$，解集 $[-3,1]$.

✅【答案】

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$[-3,1]$

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1}{2}=2^{-1}$，且底数 $2>1$，故原不等式等价于 $x^2+2x-4⩽-1$，即 $x^2+2x-3⩽0$，$(x+3)(x-1)⩽0$. 解得 $-3⩽x⩽1$，解集为 $[-3,1]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数不等式化同底

核心方法：化同底 $2$ 后比较指数，得二次不等式求解

避坑指南：底数 $2>1$ 时不改号；$frac12=2^{-1}$ 别忘了负号，指数上解的是 $$\begin{gathered} x^2+2x-4 \\ leqslant-1 \end{gathered}$$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数不等式化同底（2009 辽宁文 12、2010 新课标Ⅰ文 9）

结论推广：推广到对数不等式 ${\log }_{a}f(x)<{\log }_{a}g(x)$ 的单调性讨论

方法推广：化同底 + 比指数（或真数）是处理指对不等式的通用路径

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式
• 2010-新课标卷文-09 单-偶函数解不等式
• 2012-湖南卷文-07 单-指对不等式比较
• 2010-江西卷文-05 单-绝对值不等式解集