2025-北京卷-05 单-等差等比数列

本题导读

本题考查等差数列基本量运算与等比中项性质的综合应用，是对数列基础逻辑与代数运算能力的典型考查.

📌【题干】

Question

（2025年北京卷）已知 $\{a_n\}$ 是公差不为 0 的等差数列，$a_1=-2$，若 $a_3,a_4,a_6$ 成等比数列，则 $a_{10}=$()

A. $-20$　　　　　　B. $-18$　　　　　　C. $16$　　　　　　D. $18$

🔍【思路分析】

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1. 确定基本量：设等差数列的公差为 $d$ ($d\ne 0$)，利用通项公式将 $a_3,a_4,a_6$ 分别用 $a_1$ 和 $d$ 表示.
2. 建立等量关系：根据 $a_3,a_4,a_6$ 成等比数列，利用等比中项性质 $a_4^2=a_3\cdot a_6$ 建立关于 $d$ 的方程.
3. 求解参数并求值：解方程求出公差 $d$，进而根据 $a_{10}=a_1+9d$ 计算目标项.
4. 优化技巧：也可以利用 $a_4$ 作为基准进行局部代换，简化二次方程的展开过程.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

方法：基本量运算法（推荐）

1. 表示各项： 已知 $a_1=-2$，设公差为 $d$. 则 $a_3=-2+2d$； $a_4=-2+3d$； $a_6=-2+5d$.
2. 建立等比中项方程： 因为 $a_3,a_4,a_6$ 成等比数列，所以： $a_4^2=a_3\cdot a_6$
3. 代入具体表达式并求解： $(-2+3d{)}^2=(-2+2d)(-2+5d)$ 展开左边：$4-12d+9d^2$

展开右边：$4-10d-4d+10d^2=4-14d+10d^2$

整理方程：$4-12d+9d^2=4-14d+10d^2$

移项合并同类项：$d^2-2d=0\Rightarrow d(d-2)=0$. 因为公差 $d\ne 0$，故解得 $d=2$. 4. 计算目标项： $a_{10}=a_1+9d=-2+9\times 2=16$. 故选：C

方法：局部代换法（巧妙化简）

1. 以 $a_4$ 为基准表示： $a_3=a_4-d$； $a_6=a_4+2d$.

2. 建立方程： $a_4^2=(a_4-d)(a_4+2d)=a_4^2+a_{4}d-2d^2$

化简得：$a_{4}d-2d^2=0\Rightarrow d(a_4-2d)=0$.

3. 联立求解： 因为 $d\ne 0$，故 $a_4=2d$.

代入首项关系：$a_1+3d=2d\Rightarrow -2+3d=2d\Rightarrow d=2$. $a_{10}=a_4+6d=2d+6d=8d=16$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 等比数列性质：若 $a,b,c$ 成等比，则 $b^2=ac$.

• 等差数列通项：$a_n=a_1+(n-1)d$.

2. 方法总结：

• 核心桥梁：处理“等差数列中的等比关系”问题，核心是利用等比中项公式 $b^2=ac$ 建立代数方程.

• 下标陷阱：等差数列中，若项 $a_m,a_n,a_k$ 成等比，且下标 $m,n,k$ 不成等差，则数列必有非零公差；若下标成等差且项成等比，则数列必为常数列（$d=0$）.

3. 避坑指南：解出方程后务必检查 $d\ne 0$ 的限制条件；在多项式展开时，注意交叉项的符号（如 $(-2+3d{)}^2$ 中的 $-12d$）.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若等差数列 $\{a_n\}$ 的 $a_m,a_n,a_k$ 成等比，则公差 $d$ 与首项 $a_1$ 的关系满足：$(n-m)(n-k)d+[2n-(m+k)]a_1=0$。

2. 方法的推广:

• 基本量法：这是解决所有数列问题的“万能钥匙”，即将所有项统一化为 $a_1$ 和 $d$（或 $a_1$ 和 $q$）.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-03 单-等比中项
• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比