2025-北京卷-13 填-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换的应用。通过正弦相等且余弦不等的条件，确定角之间的约束关系，并选取符合定义域的特殊解.

📌【题干】

Question

（2025年北京卷）已知 $\alpha ,\beta \in [0,2\pi ]$，且 $\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha -\beta )$，$\cos (\alpha +\beta )\ne \cos (\alpha -\beta )$，写出满足条件的一组 $\alpha =$ $\underline{}$，$\beta =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 条件一化简： 利用和差角公式展开 $\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha -\beta )$， 可导出 $\cos \alpha \sin \beta =0$， 即 $\cos \alpha =0$ 或 $\sin \beta =0$.

2. 条件二化简： 利用和差角公式展开 $\cos (\alpha +\beta )\ne \cos (\alpha -\beta )$， 可导出 $\sin \alpha \sin \beta \ne 0$， 即 $\sin \alpha \ne 0$ 且 $\sin \beta \ne 0$.

3. 综合逻辑： 由条件二可知 $\sin \beta \ne 0$，带入条件一必有 $\cos \alpha =0$.

4. 取值：在 $[0,2\pi ]$ 范围内寻找满足 $\cos \alpha =0$ 且 $\sin \alpha \ne 0$ 的 $\alpha$， 并任取一个使 $\sin \beta \ne 0$ 的 $\beta$.

✅【答案】

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$\alpha =\frac{\pi }{2}$，$\beta =\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha -\beta )$ 得： $\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ 整理得：$2\cos \alpha \sin \beta =0$ 所以 $\cos \alpha =0$ 或 $\sin \beta =0$.① 由 $\cos (\alpha +\beta )\ne \cos (\alpha -\beta )$ 得： $\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \ne \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ 整理得：$2\sin \alpha \sin \beta \ne 0$ 所以 $\sin \alpha \ne 0$ 且 $\sin \beta \ne 0$.② 综合 ① ② 可得： $\{\begin{array}{l}\cos \alpha =0\\ \sin \alpha \ne 0\\ \sin \beta \ne 0\end{array}$ 由 $\cos \alpha =0$ 且 $\alpha \in [0,2\pi ]$，

可得 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 或 $\alpha =\frac{3\pi }{2}$（此时均满足 $\sin \alpha \ne 0$）. 由 $\sin \beta \ne 0$ 且 $\beta \in [0,2\pi ]$，可取 $\beta =\frac{\pi }{6}$（只需不等于 $0,\pi ,2\pi$ 即可）. 取其中一组：$\alpha =\frac{\pi }{2}$，$\beta =\frac{\pi }{6}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：三角函数的和差角公式及其逆用.

2. 方法总结：通过等式与不等式联立排除无效解.

3. 避坑指南：

• 忽略 $\cos (\alpha +\beta )\ne \cos (\alpha -\beta )$ 的限制作用，错误地选择了使 $\sin \beta =0$ 的 $\beta$ 值（如 $\beta =0$）.
• 对三角函数值在特殊位置（坐标轴上）的取值掌握不牢.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广: 若 $\sin A=\sin B$，则 $A=B+2k\pi$ 或 $A+B=(2k+1)\pi$；若同时要求 $\cos A\ne \cos B$，则排除 $A=B+2k\pi$ 的可能性.

2. 方法的推广:

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷理-05
• 2014-新课标I卷理-08 单-和差角公式
• 1977-北京理-04