2014-新课标I卷理-08 单-和差角公式

本题导读

本题考查三角恒等变换的综合应用。核心技巧是通过“化切为弦”将等式转化为包含和差角形式的代数式，再利用诱导公式建立角与角之间的线性关系。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 设 $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$，$\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$，且 $\tan \alpha =\frac{1+\sin \beta }{\cos \beta }$，则 ()

A. $3\alpha -\beta =\frac{\pi }{2}$　　　B. $3\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$　　　C. $2\alpha -\beta =\frac{\pi }{2}$　　　D. $2\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化切为弦：将 $\tan \alpha$ 转化为 $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$。
2. 去分母变形：交叉相乘得到 $\sin \alpha \cos \beta =\cos \alpha (1+\sin \beta )$。
3. 构造和差角公式：整理等式，寻找 $\sin (\alpha -\beta )$ 的结构。
4. 利用诱导公式：将等式右侧的 $\cos \alpha$ 转化为 $\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )$，从而建立角度关系。
5. 范围判定：结合 $\alpha ,\beta$ 的取值范围确定最终的线性方程。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化切为弦与整理 由 $\tan \alpha =\frac{1+\sin \beta }{\cos \beta }$ 得： $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1+\sin \beta }{\cos \beta }$ 交叉相乘： $\sin \alpha \cos \beta =\cos \alpha +\cos \alpha \sin \beta$

第二步：提取差角公式 将含 $\beta$ 的项移到等式左边： $\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =\cos \alpha$ 利用正弦差角公式 $\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$ 得： $\sin (\alpha -\beta )=\cos \alpha$

第三步：利用诱导公式转换 根据诱导公式 $\cos \alpha =\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )$，原式变为： $\sin (\alpha -\beta )=\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )$

第四步：确定角的关系 由于 $\alpha ,\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$，则：

• $\alpha -\beta \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$
• $\frac{\pi }{2}-\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$ 在上述范围内，若正弦值相等，则角度相等： $\alpha -\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha$ 整理得： $2\alpha -\beta =\frac{\pi }{2}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的化简求值及角度关系的确定。 2. 解题技巧： - “切化弦” 是处理此类综合等式的通用起点。 - 特殊角的转化：注意 $1=\sin \frac{\pi }{2}$ 或类似的隐含转换。

2. 核心方法：化切为弦，交叉相乘后构造和差角公式。

3. 避坑指南：在去掉 $\sin$ 符号时，必须验证角度范围是否在正弦函数的单调区间（或确保逻辑严密），防止多解或错解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 半角公式（本题右侧 $\frac{1+\sin \beta }{\cos \beta }$ 实际上等于 $\tan (\frac{\pi }{4}+\frac{\beta }{2})$）、万能公式。

2. 结论推广: 若 $\tan \alpha =\frac{1\pm \sin \beta }{\cos \beta }$，则对应的关系通常涉及 $2\alpha \mp \beta =\frac{\pi }{2}$。

3. 方法推广: 面对这类选择题，如果代数变形卡壳，可以取特值。例如令 $\beta =0$，则 $\tan \alpha =1⟹\alpha =\frac{\pi }{4}$。代入选项 C：$2(\frac{\pi }{4})-0=\frac{\pi }{2}$，成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-17 解-两角和差公式
• 2013-江西卷理-16 解-两角和与差的公式
• 2024-新高考II卷-13 填-和角的正切公式