2025-天津卷-08 单-三角函数图像与性质

本题导读

本题考查三角函数解析式的确定及其在闭区间上的性质应用。通过单调区间、对称轴和对称中心之间的几何关系锁定参数 $\omega$ 和 $\phi$，最后通过整体代换法求解最值.

📌【题干】

Question

（2025年天津卷）已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$（$\omega >0,-\pi <\phi <\pi$），在 $[-\frac{5\pi }{12},\frac{\pi }{12}]$ 上单调递增，且 $x=\frac{\pi }{12}$ 为它的一条对称轴，$(\frac{\pi }{3},0)$ 是它的一个对称中心.当 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$ 时，$f(x)$ 的最小值为 ()

A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

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1. 确定 $\omega$：利用单调区间长度限制周期的范围，再结合对称轴与对称中心之间的距离（$\frac{T}{4}$ 的奇数倍）确定具体值.
2. 确定 $\phi$：根据 $x=\frac{\pi }{12}$ 是对称轴且为单调增区间的右端点，确定该点为极大值点，列出初相方程.
3. 求最值：确定解析式后，利用“整体代换法”求出 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$ 时相位角的范围，进而确定最小值.

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故选： A**

✍【详细解析】

Abstract

1.确定 $\omega$ 单调性约束： $f(x)$ 在 $[-\frac{5\pi }{12},\frac{\pi }{12}]$ 上单调递增，则半个周期 $\frac{T}{2}⩾\frac{\pi }{12}-(-\frac{5\pi }{12})=\frac{\pi }{2}$，得 $T⩾\pi$. 由 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 得 $\frac{2\pi }{\omega }⩾\pi ⟹\omega ⩽2$. 特征点间距： 从对称轴 $x=\frac{\pi }{12}$ 到对称中心 $x=\frac{\pi }{3}$ 的距离为：$\Delta x=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{4}$. 根据正弦函数性质，对称轴到对称中心的距离为 $\frac{T}{4}\cdot (2n+1)$. $\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{4\omega }\cdot (2n+1)⟹\omega =2(2n+1)$. 由于 $0<\omega ⩽2$，当 $n=0$ 时，$\omega =2$.

2. 确定 $\phi$ 因为 $f(x)$ 在 $\frac{\pi }{12}$ 左侧单调递增且该点是对称轴，所以 $f(\frac{\pi }{12})$ 必取极大值 1. $2\times \frac{\pi }{12}+\phi =2k\pi +\frac{\pi }{2}⟹\frac{\pi }{6}+\phi =2k\pi +\frac{\pi }{2}$ 解得 $\phi =2k\pi +\frac{\pi }{3}$. 因为 $-\pi <\phi <\pi$，取 $k=0$，得 $\phi =\frac{\pi }{3}$. 故解析式为 $f(x)=\sin (2x+\frac{\pi }{3})$.

3.计算闭区间上的最小值 当 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$ 时，设整体角为 $t=2x+\frac{\pi }{3}$： $2x\in [0,\pi ]⟹2x+\frac{\pi }{3}\in [\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}]$. 考察 $y=\sin t$ 在 $t\in [\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}]$ 上的取值情况：

• 当 $t=\frac{\pi }{2}$ 时，$f(x)$ 取得最大值 1；
• 当 $t=\frac{4\pi }{3}$ 时，$f(x)$ 取得最小值. $f(x{)}_{\min }=\sin (\frac{4\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

综上，故选： A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳： -特征位置关系：

• 相邻两条对称轴（或对称中心）的距离是 $\frac{T}{2}$.
• 对称轴到相邻对称中心的距离是 $\frac{T}{4}$.

2. 方法总结：

• 整体思想：在求三角函数性质时，始终将 $\omega x+\phi$ 看作一个变量，通过正弦曲线的波动规律判断.
• 单调性与极值：若函数在 $[a,b]$ 递增且 $b$ 是对称轴，则 $f(b)$ 必定是极大值点.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 若本题要求在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的值域，则应结合图象判断出最大值为 $f(\frac{\pi }{12})=1$，故值域为 $[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$.
2. 变式思考: 如果 $\omega$ 未受单调区间限制，则 $\omega$ 可以取 $6,10,\dots$ 等值，此时题目会变成多解或需要更多限制条件.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷理-17 解-三角函数的周期性
• 2008-江苏卷-20 解-绝对值分段函数
• 2009-陕西卷文-17 解-三角解析式与最值