2026-上海卷-10 填-向量共线

本题导读

本题考查平面向量共线（平行）定理的综合应用。核心在于利用“若 $\mathbf{\alpha }\parallel \mathbf{\beta }$ 且 $\mathbf{\beta }\ne 0$，则存在唯一实数 $\lambda$ 使得 $\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\beta }$”的代数充要条件，结合待定系数法与两两不平行的基底独立性，列出方程组求解参数 $k$。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）向量 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ 是两两不平行的向量， $\vec{a}+3\vec{b}\parallel \vec{b}+\vec{c}$， $2\vec{a}+k\vec{c}\parallel \vec{b}+\vec{c}$，则 $k$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化第一个平行条件：由 $\vec{a}+3\vec{b}\parallel \vec{b}+\vec{c}$，引入实数参数 $\lambda$，写成等式 $\vec{a}+3\vec{b}=\lambda (\vec{b}+\vec{c})$，并整理出 $\vec{a}$ 关于 $\vec{b},\vec{c}$ 的线性组合。
2. 转化第二个平行条件：同理，由 $2\vec{a}+k\vec{c}\parallel \vec{b}+\vec{c}$，引入实数参数 $\mu$，写成等式 $2\vec{a}+k\vec{c}=\mu (\vec{b}+\vec{c})$。
3. 联立基底消元：由于 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 两两不平行，线性组合表达式的对应系数必须唯一相等，通过消去参数 $\lambda$ 和 $\mu$ 求解 $k$。
4. 更快捷的传递性分析：注意到两个已知向量都与同一个非零向量 $\vec{b}+\vec{c}$ 平行，根据向量平行的传递性，可以直接得出 $\vec{a}+3\vec{b}\parallel 2\vec{a}+k\vec{c}$，由此可大幅简化计算过程。

✅【答案】

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-6

✍【详细解析】

Abstract

方法一：向量共线定理法 因为 $\vec{a}+3\vec{b}\parallel \vec{b}+\vec{c}$，且 $\vec{b}+\vec{c}\ne 0$， 由向量共线定理知，存在唯一实数 $\lambda$，使得： $\vec{a}+3\vec{b}=\lambda (\vec{b}+\vec{c})=\lambda \vec{b}+\lambda \vec{c}$ 移项整理得： $\vec{a}=(\lambda -3)\vec{b}+\lambda \vec{c}$, ①

同理，因为 $2\vec{a}+k\vec{c}\parallel \vec{b}+\vec{c}$， 所以存在唯一实数 $\mu$，使得： $2\vec{a}+k\vec{c}=\mu (\vec{b}+\vec{c})=\mu \vec{b}+\mu \vec{c}$ 移项整理得： $2\vec{a}=\mu \vec{b}+(\mu -k)\vec{c}$, ②

将①式两边同乘以 2 得： $2\vec{a}=(2\lambda -6)\vec{b}+2\lambda \vec{c}$， ③ 对比②式与③式，由于 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 不共线，其线性组合项的系数必须对应相等： $\{\begin{array}{l}2\lambda -6=\mu \\ 2\lambda =\mu -k\end{array}$ 将第一式 $\mu =2\lambda -6$ 代入第二式得： $2\lambda =(2\lambda -6)-k$ $2\lambda =2\lambda -6-k⟹0=-6-k$ 解得： $k=-6$

方法二：平行传递性秒杀法 因为 $\vec{a}+3\vec{b}\parallel \vec{b}+\vec{c}$ 且 $2\vec{a}+k\vec{c}\parallel \vec{b}+\vec{c}$， 根据空间/平面向量平行的传递性（已知 $\vec{b}+\vec{c}$ 是非零向量），可得： $\vec{a}+3\vec{b}\parallel 2\vec{a}+k\vec{c}$ 因此存在实数 $m$，使得： $2\vec{a}+k\vec{c}=m(\vec{a}+3\vec{b})=m\vec{a}+3m\vec{b}$ 整理得： $(2-m)\vec{a}-3m\vec{b}+k\vec{c}=0$ 又由题意知， $\vec{a}+3\vec{b}=\lambda \vec{b}+\lambda \vec{c}⟹\vec{a}+(3-\lambda )\vec{b}-\lambda \vec{c}=0$。 对比对应项的比例系数： $\frac{2-m}{1}=\frac{-3m}{3-\lambda }=\frac{k}{-\lambda }$ 结合方法一中 $\vec{a}=(\lambda -3)\vec{b}+\lambda \vec{c}$，直接通过观察法可得： 要消去 $\vec{b}$ 项，由 $2(\vec{a}+3\vec{b})=2\vec{a}+6\vec{b}$。 已知 $2\vec{a}+k\vec{c}=\mu (\vec{b}+\vec{c})$，而 $2(\vec{a}+3\vec{b})=2\lambda (\vec{b}+\vec{c})$。 由于等式左侧两式组合时， $2(\vec{a}+3\vec{b})-(2\vec{a}+k\vec{c})=6\vec{b}-k\vec{c}$。 右侧组合为 $(2\lambda -\mu )(\vec{b}+\vec{c})=(2\lambda -\mu )\vec{b}+(2\lambda -\mu )\vec{c}$。 令对应系数成比例： $\frac{6}{2\lambda -\mu }=\frac{-k}{2\lambda -\mu }⟹6=-k⟹k=-6$

故答案为 -6。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量共线的代数等式转化；非共线向量作为基底时系数对应相等的唯一性定理。
2. 核心方法：参数消元法、待定系数法。
3. 避坑指南：误认为 $k$ 可以是任意值。部分学生没有注意到“两两不平行”这一关键限制，只有在该约束下，才能将向量等式转化为系数方程组。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查平面向量基本定理与共线定理的基础交汇，是高考填空题后半段（第 10 题左右）考查向量数形结合控制力的典型题型。
2. 结论推广：若两非零向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 均平行于非零向量 $\mathbf{\gamma }$，则对任意实数 $m,n$，向量 $m\mathbf{\alpha }+n\mathbf{\beta }$ 仍平行于 $\mathbf{\gamma }$。利用该闭合线性空间的性质，一切关于 $\mathbf{\gamma }$ 的平行关系都可以直接在系数上进行一元齐次映射。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递
• 2002-上海卷理-12 填-反函数的定义与性质