2014-天津卷理-08 单-向量线性运算

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 已知菱形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$\angle BAD=120^{\circ }$，点 $E,F$ 分别在边 $BC,DC$ 上，$BE=\lambda BC$，$DF=\mu DC$，若 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=1$，$\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{CF}=-\frac{2}{3}$，则 $\lambda +\mu =$ ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　C. $\frac{5}{6}$　　　　　　D. $\frac{7}{12}$

🔍【思路分析】

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1. 选择基底向量，例如以 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ 为基底。
2. 将 $\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AF}$、$\overrightarrow{CE}$、$\overrightarrow{CF}$ 用基底表示。
3. 根据数量积条件列出关于 $\lambda$ 和 $\mu$ 的方程组，解出参数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{d}$。则 $|\vec{b}|=2$，$|\vec{d}|=2$，$\vec{b}\cdot \vec{d}=2\times 2\times \cos 120^{\circ }=-2$。 由题意知 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{d}$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{b}$。 则 $\overrightarrow{BE}=\lambda \vec{d}$，$\overrightarrow{DF}=\mu \vec{b}$。 从而： $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\vec{b}+\lambda \vec{d}$； $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=\vec{d}+\mu \vec{b}=\mu \vec{b}+\vec{d}$； $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BC}=\lambda \vec{d}-\vec{d}=(\lambda -1)\vec{d}$； $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DC}=\mu \vec{b}-\vec{b}=(\mu -1)\vec{b}$。

由 $\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{CF}=-\frac{2}{3}$ 得： $(\lambda -1)(\mu -1)\vec{b}\cdot \vec{d}=-\frac{2}{3}⟹-2(\lambda -1)(\mu -1)=-\frac{2}{3}⟹(\lambda -1)(\mu -1)=\frac{1}{3}$。 ①

由 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=1$ 得： $(\vec{b}+\lambda \vec{d})\cdot (\mu \vec{b}+\vec{d})=1$ $⟹\mu {\vec{b}}^2+\vec{b}\cdot \vec{d}+\lambda \mu \vec{b}\cdot \vec{d}+\lambda {\vec{d}}^2=1$ 代入 $|\vec{b}{|}^2=4$，$|\vec{d}{|}^2=4$，$\vec{b}\cdot \vec{d}=-2$： $4\mu -2-2\lambda \mu +4\lambda =1⟹4(\lambda +\mu )-2\lambda \mu =3$。 ②

由①得 $\lambda \mu -\lambda -\mu +1=\frac{1}{3}⟹\lambda \mu =\lambda +\mu -\frac{2}{3}$。 代入②中： $4(\lambda +\mu )-2\left(\lambda +\mu -\frac{2}{3}\right)=3$ $4(\lambda +\mu )-2(\lambda +\mu )+\frac{4}{3}=3$ $2(\lambda +\mu )=\frac{5}{3}⟹\lambda +\mu =\frac{5}{6}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量基底表示与数量积。

2. 核心方法：以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ 为基底表示各向量，用数量积条件列方程组解 $\lambda +\mu$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量基底法与数量积运算。

2. 结论推广: 菱形中 $\vec{b}\cdot \vec{d}=2\times 2\times \cos 120^{\circ }=-2$。

3. 方法推广: 向量关系题选定基底统一表示后列方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-12 填-向量线性运算
• 2013-新课标II卷理-13 填-平面向量数量积的性质及运算
• 2026-上海卷-10 填-向量共线