2011-北京卷文-11 填-向量共线求参

本题导读

本题考查向量共线的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 已知向量 $a=(\sqrt{3},1)$，$b=(0,-1)$，$c=(k,\sqrt{3})$．若 $a-2b$ 与 $c$ 共线，则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$a-2b=(\sqrt{3},3)$
2. 步骤2：与 $c=(k,\sqrt{3})$ 共线：$x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

$a-2b=(\sqrt{3},1)-2(0,-1)=(\sqrt{3},3)$。

$a-2b$ 与 $c=(k,\sqrt{3})$ 共线：$\sqrt{3}\times \sqrt{3}-3k=0$，解得 $k=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量减法的坐标运算；共线的坐标条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$

核心方法：先做向量运算再代共线条件：交叉相乘相等

避坑指南：$a-2b$ 的纵坐标是 $1-2\times (-1)=3$，别算成 $1-2=-1$；共线条件是交叉相乘，不是对应相除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量共线求参与 2015-四川卷文-02（向量共线）、2026-上海卷-10（向量共线）同族。

结论推广：推广：若 $(\sqrt{3},3)\parallel (k,\sqrt{3})$，也可写成比例 $\frac{\sqrt{3}}{k}=\frac{3}{\sqrt{3}}$；含参向量平行与垂直（点积为零）是一对高频搭档。

方法推广：向量共线小题：先算出向量的坐标，再交叉相乘解参数；含根号时先化简再运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2015-四川卷文-02 单-向量共线
• 2026-上海卷-10 填-向量共线