2026-北京卷-05 单-函数的性质

本题导读

本题考查基本初等函数的奇偶性与单调性,首先检验函数的奇偶性排除非奇函数，随后在其对应的定义域内审视函数的全局单调递增特征，结合复合函数单调性“同增异减”原理锁定最终答案。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）下列函数中，既是奇函数，又在其定义域内单调递增的是()

A. $y=x^2$　　　B. $y=\sin x$　　　C. $y=-x^3$　　　D. $y=\ln \frac{5+x}{5-x}$

🔍【思路分析】

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1. 第一步：建立特征判定双重网格：

• 指标①：必须满足 $f(-x)=-f(x)$，图象关于原点中心对称（奇函数）。
• 指标②：在整个定义域内，对任意 $x_1<x_2$ 恒有 $f(x_1)<f(x_2)$（单调递增）。

2. 第二步：逐项定性排除：

• A 选项满足 $f(-x)=f(x)$ 为偶函数，直接打破指标①。
• B 选项在 $\mathbb{R}$ 上呈现周期性波浪起伏，属于局部单调，打破指标②的“在其定义域内（全局）单调”。
• C 选项满足奇函数，但其导数 $y^{\prime }=-3x^2\le 0$（或由幂函数性质知）为严格单调递减，打破指标②。

3. 第三步：精细定量验证 D 选项：

• 求解定义域确保对称性：真数 $\frac{5+x}{5-x}>0⟹(x+5)(x-5)<0⟹x\in (-5,5)$。
• 倒数转换验证奇函数。
• 对数型复合函数单调性分析。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

• A 选项： $f(x)=x^2$。其定义域为 $\mathbb{R}$，满足 $f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$。由于是偶函数，不符合奇函数要求，排除。

• B 选项： $f(x)=\sin x$。其定义域为 $\mathbb{R}$，虽满足 $f(-x)=\sin (-x)=-\sin x=-f(x)$ 为奇函数；但正弦函数在 $\mathbb{R}$ 上具有周期性，在 $[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]$ 等区间上单调递减，在整个定义域内不单调，排除。

• C 选项： $f(x)=-x^3$. 其定义域为 $\mathbb{R}$，满足 $f(-x)=-(-x{)}^3=x^3=-f(x)$ 为奇函数；但由于常数系数为负，该函数在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递减，不符合递增要求，排除。

• D 选项： $f(x)=\ln \frac{5+x}{5-x}$。

1. 求解定义域与对称性： 由真数大于 0 得 $\frac{5+x}{5-x}>0⟹(5+x)(5-x)>0⟹-5<x<5$。 定义域为 $(-5,5)$，显然关于原点对称。

2. 验证奇偶性： $f(-x)=\ln \frac{5+(-x)}{5-(-x)}=\ln \frac{5-x}{5+x}=\ln {\left(\frac{5+x}{5-x}\right)}^{-1}=-\ln \frac{5+x}{5-x}=-f(x)$ 满足 $f(-x)=-f(x)$，因此 $f(x)$ 是奇函数。

3. 验证单调性： 考察内层函数 $g(x)=\frac{5+x}{5-x}$。利用分离常数法进行变形： $g(x)=\frac{-(5-x)+10}{5-x}=-1+\frac{10}{5-x}$ 当 $x$ 在 $(-5,5)$ 内增大时， $5-x$ 减小，分式 $\frac{10}{5-x}$ 增大，故内层函数 $g(x)$ 严格单调递增。 外层对数函数 $y=\ln u$ 的底数为 $e>1$，在 $(0,+\infty )$ 上严格单调递增。 根据复合函数“同增异减”的单调性复合原则，“增 $\circ$ 增 $=$ 增”，所以复合后的整体函数 $f(x)$ 在其定义域 $(-5,5)$ 内严格单调递增。

故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数图象及代数定义式；全局单调递增在全定义域内的约束性；分离常数法处理分式线性变换。
2. 核心方法：双重特征筛除法、复合函数单调性判定法。
3. 避坑指南：

• 混淆局部单调与全局单调：部分学生容易在 B 选项 $y=\sin x$ 上产生视觉误判，由于其在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 局部递增而误选。题目中明确限定“在其定义域内单调递增”，意指在其完整的定义域全集上不能出现任何下坠或持平片段。
• 分式单调性常识错误：处理 $\frac{5+x}{5-x}$ 时，切忌凭直觉认为分子分母都有 $x$ 就无法判定。通过将其分离为 $-1+\frac{10}{5-x}$，转化成标准反比例函数复合形态，是准确锁定其单调性的标准代数手法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是高一数学必修第一册“函数的概念与性质”模块的经典高频改编真题，旨在测试学生对函数基础性质双重维度综合判定以及对数复合函数化简的控算基本功。
2. 结论推广： 对于任意形如 $f(x)={\log }_a\frac{R+x}{R-x}$ （$a>1,R>0$）的对数复合结构函数，其具有以下重要几何恒等性质：

• 其定义域恒为 $(-R,R)$，关于原点对称；
• 其在定义域内恒为奇函数；
• 当对数底数 $a>1$ 时，该函数在 $(-R,R)$ 上恒为严格单调递增函数。 熟记此标准模型，在考场上面对类似的选项分布时，可以直接一步秒杀锁定答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 2001-豫粤卷-09 单-函数的单调性
• 2006-上海卷理-22 解-复杂多元函数的单调性应用