2026-北京卷-07 单-充分必要条件

本题导读

本题考查常用逻辑用语中充分必要条件的判定。核心在于对蕴含关系（$P⟹Q$）的双向检验。通过直接代数不等式的传递性证明充分性，再通过构造交错或重叠边界的特殊数列作为反例，严谨驳倒必要性。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）设数列 $\{a_n\},\{b_n\}$，命题 $P$：存在常数 $M$，使 $a_n\le M\le b_n$ 对一切 $n$ 成立；命题 $Q$： $a_n\le b_n$ 对一切 $n$ 成立.则 $P$ 是 $Q$ 的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：充分性判定（检验 $P⟹Q$）： 假设命题 $P$ 为真，即存在一个固定的常数 $M$。根据不等式的传递性，如果对于任意的正整数 $n$，都有 $a_n$ 不大于 $M$，且 $M$ 不大于 $b_n$，那么 $a_n$ 与 $b_n$ 的宏观大小关系可以直接锁定。
2. 第二步：必要性判定（检验 $Q⟹\text{未知}$）： 假设命题 $Q$ 为真，即在每一个独立的标号 $n$ 处，都有 $a_n\le b_n$。我们需要思考：是否一定能找到一个全局通用的常数 $M$，把所有 $a_n$ 压在下方，同时被所有 $b_n$ 托在上方？

• 关键思维：如果 $\{a_n\}$ 的某些项很大，但对应的 $\{b_n\}$ 这一项更大；而在另一个标号处， $\{a_n\}$ 很小， $\{b_n\}$ 也变小。只要满足 $\{a_n\}$ 的上确界（最大值）大于 $\{b_n\}$ 的下确界（最小值），这个全局的“隔离带” $M$ 就会被切断。据此构造反例。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 充分性检验（$P⟹Q$）

已知命题 $P$ 成立，即存在一个确定的常数 $M$，使得对于任意的 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，以下不等式恒成立： $a_n\le M\text{且}M\le b_n$

根据实数大小关系的传递性，由 $a_n\le M$ 和 $M\le b_n$ 联立，可以推导得出： $a_n\le b_n$ 由于此结论对于一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 均成立，因此命题 $Q$ 必然成立。 也就是说， $P⟹Q$ 为真命题，充分性成立。

2. 必要性检验（$Q⟹P$）

已知命题 $Q$ 成立，即对于一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，恒有 $a_n\le b_n$。

构造两个摆动数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 如下：

• 数列 $\{a_n\}$ 的前几项为： $0,2,0,2,0,2,\cdots$ （当 $n$ 为奇数时 $a_n=0$，当 $n$ 为偶数时 $a_n=2$）；
• 数列 $\{b_n\}$ 的前几项为： $1,3,1,3,1,3,\cdots$ （当 $n$ 为奇数时 $b_n=1$，当 $n$ 为偶数时 $b_n=3$）。

逐项比较：

• 当 $n$ 为奇数时， $a_n=0,b_n=1⟹0\le 1⟹a_n\le b_n$；
• 当 $n$ 为偶数时， $a_n=2,b_n=3⟹2\le 3⟹a_n\le b_n$。

可见，对于一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$， $a_n\le b_n$ 恒成立，即命题 $Q$ 成立。

假设常数 $M$ 存在，则 $M$ 必须满足：

• $M$ 不小于数列 $\{a_n\}$ 的所有项 $⟹M\ge \max \{a_n\}=2$；
• $M$ 不大于数列 $\{b_n\}$ 的所有项 $⟹M\le \min \{b_n\}=1$。 联立两条件，要求常数 $M$ 同时满足： $2\le M\le 1$ 在实数集内显然不存在这样的常数 $M$。因此命题 $P$ 不成立。 也就是说， $Q/⟹P$，必要性不成立。

综上所述， $P$ 是 $Q$ 的充分不必要条件。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充要条件的集合包含逻辑关系；传递性在不等式证明中的基础应用；有界数列中最大值与最小值的动态交错。
2. 核心方法：双向因果拆分法、反例模型构造法。
3. 避坑指南：学生最容易产生的代数直觉误区是误以为 $a_n\le b_n$ 就能自然推出能用一刀切的常数 $M$ 将两数列切开。必须要分清“逐项满足”与“全局满足”的区别。在 $Q$ 中， $a_n\le b_n$ 是动态联动的（在同一个 $n$ 下成立）；而 $P$ 要求的是一个静态死板的常数 $M$。当发现静态无法容纳动态波动时，果断通过构造交错摆动数列（如周期为 2 的动态跳跃）实施反例打击，是做对该几何逻辑题的精髓。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是常用逻辑用语与数列界限交汇的经典大纲压轴选择题，重点考查学生对“存在性量词 $\exists$”与“全称量词 $\forall$”在多变量嵌套时的逻辑解构能力。
2. 结论推广： 借助现代数学的高等分析语言，设 $A=\{a_n|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$， $B=\{b_n|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$。

• 命题 $P$ 成立的充要条件是： $\sup A\le \inf B$ （即集合 $A$ 的上确界小于等于集合 $B$ 的下确界）。
• 命题 $Q$ 成立的充要条件是：对于每个固定的 $n$， $a_n\le b_n$。 由于在一般有界集上， “对于每个 $n$ 满足 $a_n\le b_n$” 无法推出 “ $\sup A\le \inf B$ ”（本题反例即属于 $\sup A=2>\inf B=1$ 但逐项依然不越界的情形），这一高维分析学原理完美解释了该高考题的命题根源。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-16 单-充分条件与必要条件
• 2013-北京卷理-03 单-充分条件、必要条件判定
• 2013-山东卷理-07 单-充分必要条件判定