2013-北京卷理-03 单-充分条件、必要条件判定

本题导读

本题考查常用逻辑用语，以及充分条件与必要条件。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） “$\varphi =\pi$”是“曲线 $y=\sin (2x+\varphi )$ 过坐标原点”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析充分性：假设 $\varphi =\pi$ 成立，推导曲线是否过原点。
   • 将 $\varphi =\pi$ 代入解析式得 $y=\sin (2x+\pi )$。
   • 验证当 $x=0$ 时，$y$ 是否等于 $0$。
2. 分析必要性：假设曲线过坐标原点，推导 $\varphi$ 是否一定等于 $\pi$。
   • 曲线过原点意味着点 $(0,0)$ 在图象上。
   • 将 $(0,0)$ 代入解析式 $y=\sin (2x+\varphi )$，求出 $\varphi$ 的所有可能取值。
3. 判定结论：
   • 若充分性成立且必要性不成立，则为充分不必要条件；
   • 若必要性成立且充分性不成立，则为必要不充分条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证充分性 当 $\varphi =\pi$ 时，函数解析式为 $y=\sin (2x+\pi )$。 令 $x=0$，则 $y=\sin (2\cdot 0+\pi )=\sin \pi =0$。 因为当 $x=0$ 时 $y=0$，所以曲线必过坐标原点。 故“充分性”成立。

第二步：验证必要性 若曲线 $y=\sin (2x+\varphi )$ 过坐标原点 $(0,0)$，则有： $0=\sin (2\cdot 0+\varphi )$ 即 $\sin \varphi =0$。 根据正弦函数的性质，解得 $\varphi =k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）。 这意味着 $\varphi$ 可以取 $0,\pi ,2\pi ,-\pi$ 等无数个值。 所以，曲线过原点并不一定能推导出 $\varphi =\pi$。 故“必要性”不成立。

第三步：得出结论 综上所述，“$\varphi =\pi$” $⟹$ “曲线过原点”，但“曲线过原点” $/⟹$ “$\varphi =\pi$”。 因此，“$\varphi =\pi$”是“曲线过原点”的充分而不必要条件。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分条件与必要条件的判定逻辑；正弦函数零点的代数表达。

核心方法：判定充要关系时，遵循**“由前推后”看充分，“由后推前”看必要**的原则。

避坑指南：很多同学容易忽略三角函数的周期性。看到 $\sin \varphi =0$ 就直觉认为 $\varphi =0$ 或 $\pi$，从而误选充要条件。务必记住 $k\pi$ 这一通解形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的诱导公式、命题的四种形式。

结论推广：若条件 $p$ 对应的集合为 $P$，结论 $q$ 对应的集合为 $Q$。当 $P⊊Q$ 时，$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。本题中 $\{\pi \}⊊\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$。

方法推广：涉及函数图象过定点的问题，最直接的方法就是将定点坐标代入解析式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

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• 2013-福建卷文-02 单-充要条件判定