2026-新高考I卷-02 单-平面向量基本定理

本题导读

本题考查平面向量基本定理及其推论。核心意图在于测试学生对“不共线向量作为基底时，向量线性组合的表示形式具有唯一性”这一核心定理的掌握情况。

📌【题干】

Question

（2026年新高考I卷）已知平面向量 $\vec{a},\vec{b}$ 不共线，且 $2\vec{a}+y\vec{b}=x\vec{a}-3\vec{b}$，则()

A. $x=2,y=-3$　　　　　　　　　　　　　　B. $x=-2,y=3$

C. $x=2,y=3$　　　　　　　　　　　　　　D. $x=-2,y=-3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：将已知向量方程 $2\vec{a}+y\vec{b}=x\vec{a}-3\vec{b}$ 中的同类向量项进行跨等号移项，将所有项合并整理到等号左侧，化简为 $(2-x)\vec{a}+(y+3)\vec{b}=\vec{0}$ 的形式。
2. 第二步逻辑：由于题目明确给出平面向量 $\vec{a},\vec{b}$ 不共线，这意味着它们可以作为平面的一组基底，若它们的线性组合为零向量，根据向量不共线的充要条件，其对应的代数系数必须同时为 0。
3. 第三步逻辑：令各项系数方程组为 0，即 $2-x=0$ 且 $y+3=0$，直接解出实数 $x$ 和 $y$ 的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由题意：

$2\vec{a}+y\vec{b}=x\vec{a}-3\vec{b}$

即： $2\vec{a}-x\vec{a}+y\vec{b}+3\vec{b}=\vec{0}$

化简： $(2-x)\vec{a}+(y+3)\vec{b}=\vec{0}$

因为平面向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是不共线的非零向量，根据平面向量基本定理，得到 由此建立关于实数 $x,y$ 的二元一次方程组：

$\{\begin{array}{l}2-x=0\\ y+3=0\end{array}$

解得： $x=2,y=-3$。

正确答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基底线性表示的唯一性定理（系数对应相等）。
2. 核心方法：系数对齐法（等价于复数相等的实虚部分解法）。
3. 避坑指南：

• 混淆向量与实数运算符号：部分学生在解题时，容易把向量移项 $y\vec{b}+3\vec{b}$ 错误写成 $(y+3)\vec{b}=0⟹y+3=0$，虽然结果凑巧正确，但若两边同时约去 $\vec{b}$ 属于严重的向量代数语法错误。向量不能作除数，必须使用“不共线导致系数为0”的定理进行逻辑跨越。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是平面向量板块最经典的定理性质测试题。其高维数学背景源于线性代数中的“向量组的线性无关性”。不共线在二维线性空间中即等价于平面上的两个基向量相互线性无关，线性无关向量组的零组合解必然是平凡解（所有系数全为 0）。
2. 结论推广： 对于任意线性无关的几何或代数系统（如不共线向量 $\vec{a},\vec{b}$，或者是复数系统中的 $1$ 与 $i$，或者是多项式系统中的 $x$ 与 $x^2$），若满足等式关系：

$A_1\vec{\varphi }+B_1\vec{\psi }=A_2\vec{\varphi }+B_2\vec{\psi }$

其通解映射关系恒满足分量对齐法则： $\{\begin{array}{l}{A}_1=A_2\\ B_1=B_2\end{array}$ 利用这一结论，在未来的考试中无需移项，直接令 $\vec{a}$ 的系数 $2=x$， $\vec{b}$ 的系数 $y=-3$，可实现 1 秒内直接肉眼锁定正确答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-上海卷理-13