2026-新高考I卷-03 单-诱导公式

本题导读

本题考查特殊角三角函数值的计算与集合交集的综合运算。核心意图在于测试学生利用诱导公式将大角度三角函数化简为第一象限特殊角锐角三角函数的能力，并准确求出两个离散点集的公共元素。

📌【题干】

Question

（2026年新高考I卷）已知集合 $A=\left\{\sin \frac{7\pi }{6},\cos \frac{5\pi }{3},\tan \frac{5\pi }{4}\right\}$， $B=\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},1\right\}$，

则 $A\cap B=$()

A. $\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right\}$　　　B. $\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},1\right\}$　　　C. $\left\{-\frac{1}{2},1\right\}$　　　D. $\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},1\right\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：对集合 $A$ 中的三个三角函数元素进行独立化简。利用诱导公式将 $\frac{7\pi }{6},\frac{5\pi }{3},\frac{5\pi }{4}$ 分别转化到常规象限，求出它们对应的精确数值，从而将集合 $A$ 表示为具体的数集。
2. 第二步逻辑：根据集合交集 $A\cap B$ 的定义，寻找同时属于集合 $A$ 和集合 $B$ 的相同公共元素。
3. 第三步逻辑：将求得的公共元素填入集合符号内，对照选项锁定正确答案。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 计算 $\sin \frac{7\pi }{6}$： $\sin \frac{7\pi }{6}=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{6}\right)=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$

2. 计算 $\cos \frac{5\pi }{3}$： $\cos \frac{5\pi }{3}=\cos \left(2\pi -\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$

3. 计算 $\tan \frac{5\pi }{4}$： $\tan \frac{5\pi }{4}=\tan \left(\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\tan \frac{\pi }{4}=1$

将计算出的数值代入集合 $A$ 中（注意集合内元素的互异性，此处三个值均不相同）：

$A=\left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right\}$

已知集合 $B=\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},1\right\}$。 对比集合 $A$ 与集合 $B$ 中的元素：

• $-\frac{1}{2}$ 同时存在于集合 $A$ 和集合 $B$ 中；
• $1$ 同时存在于集合 $A$ 和集合 $B$ 中；
• $\frac{1}{2}$ 仅在集合 $A$ 中， $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 仅在集合 $B$ 中。

因此，两集合的公共元素为 $-\frac{1}{2}$ 和 $1$：

$A\cap B=\left\{-\frac{1}{2},1\right\}$

正确答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：各象限三角函数符号法则（“全正、正弦、正切、余弦”）；集合交集的基本定义。
2. 核心方法：数值化简法。
3. 避坑指南：

• 诱导公式正负号判错陷阱：在计算 $\cos \frac{5\pi }{3}$ 时，该角属于第四象限，第四象限的余弦值为正数。部分学生容易机械套用“奇变偶不变，符号看象限”时把正负号弄反，误算成 $-\frac{1}{2}$，从而导致错选 A 或 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是新高考高一基础模考中极具代表性的跨章节综合选择题，将三角函数的初等变换作为运算外壳，考查集合运算这一核心主干知识。
2. 结论推广： 对于所有涉及特殊弧度制的三角函数化简，可推广利用“终边位置映射法”快速读数。

• 凡是分母为 $6$ 的弧度系统（如 $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$），对应的正弦绝对值必为 $\frac{1}{2}$，余弦绝对值必为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$；
• 凡是分母为 $3$ 的弧度系统（如 $\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$），对应的正弦绝对值必为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，余弦绝对值必为 $\frac{1}{2}$。 记住该分母对应规律后，只需通过分子判定象限并定符号，即可免去写出诱导公式的中间步骤，实现多项特殊三角函数值的秒杀化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷文-01 单-诱导公式求值
• 2009-大纲卷I文-01 单-诱导公式求值
• 2009-陕西卷理-01