2026-新高考I卷-10 多-立几综合

本题导读

本题考查立体几何中动态空间几何结构的定量与定性分析。核心意图在于测试学生利用空间坐标系或向量分解法，将绕定轴旋转的动点转化为定轴方向与垂直于轴截面方向的代数离散投影，从而严格分析线段长度下界、线面垂直判定及空间夹角的最值范围。

📌【题干】

Question

（2026年新高考I卷）在空间中， $A,B$ 为两个定点，动点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离为 2，动点 $D$ 到直线 $AB$ 的距离为 1.若二面角 $C-AB-D$ 为 $60^{\circ }$，则()

A. $\angle CAD\ge 60^{\circ }$　　　　　　　　　　　　B. $CD\ge \sqrt{3}$

C. 当 $AB\perp CD$ 时， $CD\perp$ 平面 $ABD$　　D. 当 $AB\perp$ 平面 $ACD$ 时， $AC\perp AD$

🔍【思路分析】

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1. 几何建模（建系化归）：以定直线 $AB$ 为 $z$ 轴，过点 $A$ 且垂直于 $AB$ 的平面为 $xy$ 平面建立空间直角坐标系。设 $A$ 为原点 $(0,0,0)$。
2. 动点坐标刻画：由动点到 $AB$ 的距离可知它们在 $xy$ 平面上的投影半径。设 $C$ 在 $xy$ 平面投影半径为 2， $D$ 投影半径为 1。因二面角 $C-AB-D$ 为 $60^{\circ }$，两点在 $xy$ 平面内的极角差为 $60^{\circ }$。分别写出 $C$ 与 $D$ 的轴向与截面坐标。
3. 选项逐一判定：

• B选项：写出向量 $\overrightarrow{CD}$ 表达式，利用 $z$ 轴分量与 $xy$ 分量独立性计算 $|CD|$ 的极值。
• A选项：由 $\angle CAD$ 的余弦公式，将向量内积转化为坐标表示，通过有界性分析夹角下界。

• C、D选项：利用线面垂直、线线垂直的几何定理以及坐标向量内积为 0 进行严密充要条件复核。

✅【答案】

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BC

✍【详细解析】

Abstract

方法一：特殊化(秒杀)

A：考察的是二面角的平面角的定义：如图，C和D是动点， $\angle CAD$可以无限趋于零和$180^{\circ }$

直接看D：特殊化， $AB\perp$ 平面 $ACD$ ，此时$\angle CAD=60^{\circ }$

.

故选: BC.

方法二：空间向量法

以定点 $A$ 为坐标原点，直线 $AB$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。 令 $A(0,0,0)$。 因为动点 $C$ 到直线 $AB$（ $z$ 轴）的距离为 $2$，不妨设点 $C$ 在 $xOz$ 平面内的半平面内，其坐标可以表示为： $\overrightarrow{AC}=(2,0,z_1)$ 因为动点 $D$ 到直线 $AB$（ $z$ 轴）的距离为 $1$，且二面角 $C-AB-D$ 为 $60^{\circ }$。 由此可知，向量 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{AD}$ 在 $xOy$ 平面上的投影向量的夹角为 $60^{\circ }$。

点 $D$ 的横坐标 $x_D=1\times \cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，纵坐标 $y_D=1\times \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其坐标可以表示为：

$\overrightarrow{AD}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},z_2\right)$ 其中 $z_1,z_2$ 为任意实数。

析 A 选项：校验 $\angle CAD$ 的取值范围

利用向量数量积公式计算 $\cos \angle CAD$： $\cos \angle CAD=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{AD}|}=\frac{2\times \frac{1}{2}+0\times \frac{\sqrt{3}}{2}+z_1{z}_2}{\sqrt{2^2+0^2+z_1^2}\cdot \sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+z_2^2}}=\frac{1+z_1{z}_2}{\sqrt{4+z_1^2}\sqrt{1+z_2^2}}$

由于 $z_1,z_2$ 可以任意取值，令 $z_1=2,z_2=1$，代入上式计算： $\cos \angle CAD=\frac{1+2\times 1}{\sqrt{4+4}\sqrt{1+1}}=\frac{3}{\sqrt{8}\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}$

因为 $\frac{3}{4}>\frac{1}{2}=\cos 60^{\circ }$，由于余弦函数在 $(0,\pi )$ 上单调递减，所以此时 $\angle CAD<60^{\circ }$。 由此推得 $\angle CAD\ge 60^{\circ }$ 不恒成立。 故 A 选项 错误。

析 B 选项：求 $CD$ 的极小值 利用空间两点间距离公式计算 $C{D}^2$： $C{D}^2={\left(2-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(0-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+(z_1-z_2{)}^2$

$C{D}^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+(z_1-z_2{)}^2=\frac{9}{4}+\frac{3}{4}+(z_1-z_2{)}^2=3+(z_1-z_2{)}^2$

因为 $(z_1-z_2{)}^2\ge 0$，所以： $C{D}^2\ge 3⟹CD\ge \sqrt{3}$ 当且仅当 $z_1=z_2$ 时，等号成立。 故 B 选项 正确。

析 C 选项：判定 $AB\perp CD$ 时的线面关系 直线 $AB$ 在 $z$ 轴上，其方向向量可写为 $\vec{\nu }=(0,0,1)$

向量 $\overrightarrow{CD}=\left(\frac{1}{2}-2,\frac{\sqrt{3}}{2}-0,z_2-z_1\right)=\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},z_2-z_1\right)$。

若 $AB\perp CD$，则两向量的数量积为 0： $\vec{\nu }\cdot \overrightarrow{CD}=0⟹0\times \left(-\frac{3}{2}\right)+0\times \frac{\sqrt{3}}{2}+1\times (z_2-z_1)=0⟹z_1=z_2$ 此时，我们来证明 $CD$ 是否垂直于平面 $ABD$。

又 $AB=\vec{\nu }=(0,0,1)$，以及 $\overrightarrow{AD}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},z_2\right)$。

• 已经由条件满足 $\overrightarrow{CD}\cdot \vec{\nu }=0⟹CD\perp AB$；
• 计算 $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AD}$： $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AD}=\left(-\frac{3}{2}\right)\times \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+(z_2-z_1)\times z_2$ 将 $z_1=z_2$ 代入上式： $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AD}=-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+0=0⟹CD\perp AD$ 因为 $CD$ 同时垂直于平面 $ABD$ 内的两条相交直线 $AB$ 和 $AD$，根据线面垂直判定定理： $CD\perp \text{平面 }ABD$ 故 C 选项 正确。

析 D 选项：判定 $AB\perp$ 平面 $ACD$ 时的线线垂直关系

若 $AB\perp$ 平面 $ACD$，由于 $AC\subset \text{平面 }ACD$ 且 $AD\subset \text{平面 }ACD$，根据线面垂直的性质定理，必然有： $AB\perp AC\text{且}AB\perp AD$ 代入方向向量 $\vec{\nu }=(0,0,1)$ 进行数量积计算： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AC}\cdot \vec{\nu }=0⟹z_1=0\\ \overrightarrow{AD}\cdot \vec{\nu }=0⟹z_2=0\end{array}$ 此时，取： $\overrightarrow{AC}=(2,0,0)$， $\overrightarrow{AD}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$。

计算 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}$ 的值： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=2\times \frac{1}{2}+0\times \frac{\sqrt{3}}{2}+0\times 0=1\ne 0$ 因为数量积不为 0，说明 $AC$ 与 $AD$ 并不垂直。 故 D 选项 错误。

正确答案：BC

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：轴向距离分解与二面角极坐标投影；线面相交的多维定性转化。
2. 核心方法：空间直角坐标系建系法、柯西不等式最值分析法。
3. 避坑指南：

• 立体图形静止思维陷阱：本题 C、D 选项为条件命题，带有“当…时”的限定词。部分学生容易将 C 选项中 $AB\perp CD$ 的空间状态错误地脑补成必须在同一截面内的死板图形。要学会用 $z_1=z_2$ 的滑动高度差来动态控制空间线段的倾斜度，通过纯代数内积验证去避开繁琐的几何直观想象错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为 2026 年新高考Ⅰ卷多选题的第二题（第 10 题），属于立体几何板块的高难度多选题。其高等数学背景源于解析几何中的“柱面坐标系 $(r,\theta ,z)$ 下的空间动轨迹度量分析”。
2. 结论推广： 对于所有以直线 $l$ 为公共轴、二面角固定为 $\alpha$、两动点到轴的距离分别稳定为 $R_1,R_2$ 的空间结构系统： 其在垂直于轴的二维射影平面上，投影线段构成的固定三角形边长为： $L_{\min }=\sqrt{R_1^2+R_2^2-2R_1{R}_2\cos \alpha }$ 而空间中两动点实际距离的度量通式恒满足柱面勾股定理： $CD=\sqrt{L_{\min }^2+(\Delta z{)}^2}\ge L_{\min }$ 本题中 $R_1=2,R_2=1,\alpha =60^{\circ }$，代入射影通式： $L_{\min }=\sqrt{4+1-2\times 2\times 1\times \cos 60^{\circ }}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3}$ 从而可以直接秒杀判定 $CD\ge \sqrt{3}$。这一推广公式可作为处理所有旋转轴动点问题的高端大招。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角