2026-新高考II卷-07 单-二倍角

本题导读

本题考查三角函数的化简与求值。核心意图在于测试学生对二倍角公式的熟练运用，通过将含有 $2\alpha$ 的混合三角方程统一展开为关于 $\alpha$ 的单角齐次式或切函数方程，结合象限符号条件求解 $\tan \alpha$（或 $\sin \alpha ,\cos \alpha$），从而精确算出目标代数式的值。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）已知 $\alpha$ 为第二象限角，且 $3\sin 2\alpha \cos \alpha =8\sin \alpha \cos 2\alpha$ ，则 $\frac{1+\sin \alpha }{2-\cos \alpha }=$()

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　B. $\frac{3}{5}$　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\frac{5}{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（方程展开）：利用二倍角公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 和 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$（或 ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$），将已知等式中的倍角项全部消去，化为只含有单角 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的基础方程。
2. 第二步逻辑（化为正切方程）：观察展开后的项，由于 $\alpha$ 为第二象限角 $⟹\sin \alpha \ne 0$，可以在等式两边同时除以相关因式，将其转化为关于 $\tan \alpha$ 的方程，进而求出 $\tan \alpha$ 的值。
3. 第三步逻辑（确定单角值并代入）：结合 $\alpha$ 所在第二象限的符号特征（ $\sin \alpha >0,\cos \alpha <0$ ），求出相应的 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的具体数值，最终代入目标分式完成定量计算。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

已知为： $3\sin 2\alpha \cos \alpha =8\sin \alpha \cos 2\alpha$ 将 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 代入等式左侧： $3\times (2\sin \alpha \cos \alpha )\times \cos \alpha =6\sin \alpha {\cos }^2\alpha$ 将 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ 代入等式右侧： $8\sin \alpha (2{\cos }^2\alpha -1)=16\sin \alpha {\cos }^2\alpha -8\sin \alpha$ 由此，即： $6\sin \alpha {\cos }^2\alpha =16\sin \alpha {\cos }^2\alpha -8\sin \alpha$ 即 $10\sin \alpha {\cos }^2\alpha -8\sin \alpha =0$ 化简： $2\sin \alpha$： $2\sin \alpha (5{\cos }^2\alpha -4)=0$

因为已知 $\alpha$ 是第二象限角，根据三角函数象限符号，第二象限角的正弦值大于 0： $\sin \alpha >0$ 因此，方程两边可直接除以 $2\sin \alpha$，得到： $5{\cos }^2\alpha -4=0⟹{\cos }^2\alpha =\frac{4}{5}$

由于 $\alpha$ 在第二象限，其余弦值必须为负数： $\cos \alpha =-\sqrt{\frac{4}{5}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 利用同角三角函数的平方关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$： ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$ 因为在第二象限 $\sin \alpha >0$，： $\sin \alpha =\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

将求得的 $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$ 和 $\cos \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}}$ 代入： $\frac{1+\sin \alpha }{2-\cos \alpha }=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{5}}}{2-\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{5}}}{2+\frac{2}{\sqrt{5}}}$ 化简： $\frac{\sqrt{5}+1}{2(\sqrt{5}+1)}=\frac{1}{2}$

正确答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角与单角的代数降幂化简；第二象限角的三角符号限定（正弦正、余弦负）。
2. 核心方法：公式展开化简法。
3. 避坑指南：

• 象限符号开方取错陷阱：部分学生由 ${\cos }^2\alpha =\frac{4}{5}$ 开方求 $\cos \alpha$ 时，容易忽略“ $\alpha$ 为第二象限角”这一前置条件，习惯性地直接取正值 $\frac{2}{\sqrt{5}}$，从而导致分母化简变为 $2-\frac{2}{\sqrt{5}}$，计算出错误结果。开方必看象限限定，是三角函数大纲题的首要防线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是三角函数板块中非常经典的倍角方程求值选择题，旨在通过方程消元，考查同角三角函数核心基本功。
2. 结论推广： 对于所有形如 $A\sin 2\alpha \cos \alpha =B\sin \alpha \cos 2\alpha (A\ne B)$ 的齐次三角方程，只要排除轴向特殊角（ $\sin \alpha \ne 0$），其核心单角的基本量恒被锁定为以下常数方程： ${\cos }^2\alpha =\frac{B}{2B-2A}$ 将本题数据 $A=3,B=8$ 直接代入该推广通式： ${\cos }^2\alpha =\frac{8}{2\times 8-2\times 3}=\frac{8}{16-6}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ 通过该通式大招，可完全跳过中间全部的展开、移项、提取因式等步骤，实现考场上 2 秒内直接口算锁定 ${\cos }^2\alpha$ 的最终数值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1988-全国卷理-18 填-半角公式求值
• 1993-新高考理-09