2026-新高考II卷-11 多-抛物线几何性质

本题导读

本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的综合位置关系。第一问通过标准方程直接提取准线；第二问通过联立直线与抛物线方程，结合判别式 $\Delta$ 判定无焦点（无交点）时的参数范围；第三问考查切线状态下，利用斜率定量校验三点共线问题；第四问则是全题难点，将等边三角形的面积转化为抛物线上的动点到已知直线的距离，通过一元二次函数求出距离的最小值，进而确定面积的最小值。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）已知抛物线 $E:y^2=8x$，斜率 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 过点 $(-1,0)$， 等边三角形$△ABC$ 的顶点 $A$ 在 $E$ 上， 顶点$B,C$均 在 $l$ 上. 下列结论正确的有()

A. $E$的准线方程为 $x=-2$

B. 若$l$ 与 $E$ 没有公共点， 则$k>\sqrt{2}$

C. 若 $l$ 与 $E$的唯公共点位 $B$，则$E$的焦点在直线 $AB$ 上

D. 若$k=2$ ，则 $△ABC$ 面积的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{15}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. A选项：由 $y^2=8x⟹2p=8⟹p=4$，利用准线公式 $x=-\frac{p}{2}$ 判定。
2. B选项：直线 $l$ 过点 $(-1,0)$，设其方程为 $x=\frac{1}{k}y-1$。与抛物线方程联立消去 $x$，得到关于 $y$ 的一元二次方程，利用判别式 $\Delta <0$ 求解 $k$ 的范围。
3. C选项：直线与抛物线相交于唯一一点且斜率存在，说明直线与抛物线相切，即 $\Delta =0$。求出切点 $B$ 的坐标，利用等边三角形的几何性质（高与底边的夹角为 $60^{\circ }$）求出直线 $AB$ 的斜率，进而校验焦点 $F(2,0)$ 是否在直线 $AB$ 上。
4. D选项：当 $k=2$ 时，直线 $l$ 方程为 $y=2x+2$。设 $A\left(\frac{t^2}{8},t\right)$ 为抛物线上的动点，利用点到直线的距离公式将 $△ABC$ 的高 $h$ 表示为关于 $t$ 的一元四次（或配方后二次）函数，求出 $h$ 的最小值，再根据等边三角形面积公式 $S=\frac{\sqrt{3}}{3}{h}^2$ 求出面积最小值。

✅【答案】

点击查看答案

ABD

✍【详细解析】

Abstract

• A 选项 对于抛物线 $E:y^2=8x$，其标准方程为 $y^2=2px$， 解得 $2p=8⟹p=4⟹\frac{p}{2}=2$。 所以准线方程为 $x=-\frac{p}{2}=-2$。 故 A 选项 正确。

• ** B 选项** 由于直线 $l$ 斜率 $k>0$ 且过点 $(-1,0)$，可设直线 $l$ 的方程为： $x=\frac{1}{k}y-1$。 联立直线与抛物线方程： $\{\begin{array}{l}{y}^2=8x\\ x=\frac{1}{k}y-1\end{array}⟹y^2=8\left(\frac{1}{k}y-1\right)⟹y^2-\frac{8}{k}y+8=0$ 直线 $l$ 与抛物线 $E$ 无交点，等价于该一元二次方程没有实数根，即判别式 $\Delta <0$： $\Delta ={\left(-\frac{8}{k}\right)}^2-4\times 1\times 8=\frac{64}{k^2}-32<0$ $\frac{64}{k^2}<32⟹k^2>2$ 因为已知 $k>0$，开方得： $k>\sqrt{2}$。 故 B 选项 正确。

• C 选项

若直线 $l$ 与 $E$ 相交于唯一一点 $B$，则直线与抛物线相切，此时判别式 $\Delta =0$。 由 B 选项的计算知： $\frac{64}{k^2}-32=0⟹k^2=2⟹k=\sqrt{2}$。 将 $k=\sqrt{2}$ 代入一元二次方程中： $y^2-\frac{8}{\sqrt{2}}y+8=0⟹y^2-4\sqrt{2}y+8=0⟹(y-2\sqrt{2}{)}^2=0$ 解得切点 $B$ 的纵坐标为 $y=2\sqrt{2}$，代入 $y^2=8x$ 得横坐标 $x=1$。即切点为 $B(1,2\sqrt{2})$。 抛物线的焦点为 $F(2,0)$，而直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha$ 满足 $\tan \alpha =\sqrt{2}$。 因为 $△ABC$ 为等边三角形，且 $B,C$ 在直线 $l$ 上，所以直线 $AB$ 与直线 $l$ 的夹角为 $60^{\circ }$。 根据解三角形与斜率公式计算可知，直线 $AB$ 的斜率与直线 $BF$ 的斜率 $k_{BF}=\frac{2\sqrt{2}-0}{1-2}=-2\sqrt{2}$ 不相等。 说明焦点 $F$ 不在直线 $AB$ 上。 故 C 选项 错误。

• D 选项 当 $k=2$ 时，直线 $l$ 的方程为 $y=2(x+1)⟹2x-y+2=0$。 设抛物线 $E$ 上的动点 $A$ 的坐标为 $\left(\frac{t^2}{8},t\right)$，其中 $t\in \mathbf{R}$。 点 $A$ 到直线 $l$ 的距离 $h$（即等边三角形 $△ABC$ 的高）为： $h=\frac{\left|2\times \frac{t^2}{8}-t+2\right|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{\left|\frac{t^2}{4}-t+2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{1}{4\sqrt{5}}\left|t^2-4t+8\right|$ 配方： $t^2-4t+8=(t-2{)}^2+4\ge 4$ 当且仅当 $t=2$ 时，距离 $h$ 取得最小值： $h_{\min }=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

又因为： $S=\frac{\sqrt{3}}{3}{h}^2$ 将 $h_{\min }=\frac{1}{\sqrt{5}}$ 代入面积公式，即可求得面积的最小值： $S_{\min }=\frac{\sqrt{3}}{3}\times {\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{3}\times \frac{1}{5}=\frac{\sqrt{3}}{15}$ 故 D 选项 正确。

正确答案：ABD

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

抛物线 $y^2=2px$ 的标准方程、焦点与准线；直线与抛物线的位置关系判别（相切、相交于一点、无交点与判别式及斜率范围的对应）；等边三角形与焦准线几何量的综合计算。

判别式分类法、设参求最值法、焦准线几何性质转化法。

“相交于唯一一点”包含相切（$\Delta =0$）与平行于对称轴两种情形，须分别核验；判定焦点是否落在动直线上时，应代入焦点坐标 $(2,0)$ 严格验算，不能凭图形直观。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源与高等数学背景

(1) 试题背景源流

本题属于新高考圆锥曲线板块中高频出现的直线与抛物线动力学结构问题。其设计将解析几何中的“弦切位置判定”与平面几何中的“正多边形度量模型”进行有机结合，重点考查动态约束下的极值问题。

(2) 高等数学核心背景

本题的第(4)问在高等数学中属于典型的**条件极值（Conditional Extremum）**问题。

• 拉格朗日乘数法视阈：求抛物线上的点到已知直线距离的最小值，等价于目标函数 $f(x,y)=2x-y+2$ 在约束条件 $g(x,y)=y^2-8x=0$ 下的极值。 构建拉格朗日函数： $F(x,y,\lambda )=(2x-y+2)+\lambda (y^2-8x)$。 对其求偏导： $\{\begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial x}=2-8\lambda =0⟹\lambda =\frac{1}{4}\\ \frac{\partial F}{\partial y}=-1+2\lambda y=0⟹-1+2\times \frac{1}{4}y=0⟹y=2\end{array}$ 代入 $y^2=8x⟹x=\frac{1}{2}$。 高数中的这一偏导数切线切向流，在初等数学中表现为利用参数化换元后的一元二次函数顶点极值。命题人正是借助这一条件极值原理，设计出了高精度的面积极值计算题。

2. 结论推广与一般化

(1) 结论推广

对于一般形式的抛物线 $y^2=2px(p>0)$，若已知与其不相交的直线 $l:Ax+By+C=0$，且在该抛物线上有一动点 $A$，以 $A$ 为顶点、底边在直线 $l$ 上的等边三角形 $△ABC$ 的面积极值满足以下通用定理：

【等边三角形面积极值定理】 动点 $A$ 到直线 $l$ 的最小距离（高）为： $h_{\min }=\frac{\left|C-\frac{p{B}^2}{2A}\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 对应的等边三角形最小面积为： $S_{\min }=\frac{\sqrt{3}}{3}{h}_{\min }^2=\frac{\sqrt{3}{\left(C-\frac{p{B}^2}{2A}\right)}^2}{3(A^2+B^2)}$

(2) 推广应用

将本题的具体参数 $p=4,A=2,B=-1,C=2$ 直接代入该推广通式中： $h_{\min }=\frac{\left|2-\frac{4\times (-1{)}^2}{2\times 2}\right|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2-1|}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ $S_{\min }=\frac{\sqrt{3}{\left(2-1\right)}^2}{3\times (2^2+(-1{)}^2)}=\frac{\sqrt{3}\times 1}{3\times 5}=\frac{\sqrt{3}}{15}$ 运用此大招通式，面对任何抛物线与外置直线构筑的等边三角形面积最值问题，均可免去设点、配方等全部长程代数运算，实现 5 秒内直接口算输出标准答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-山东卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-福建卷理-18 解-抛物线的标准方程与定义