2026-新高考II卷-14 填-外接球

本题导读

本题考查多面体外接球的几何性质与计算。核心意图在于测试学生利用球的体积公式求出球的半径，并将点 $D$ 到底面等边三角形 $△ABC$ 的相对空间位置抽象为正三棱锥外接球拓扑模型，通过构造勾股定理方程组精确求解底面外接圆半径，进而算出底面三角形的面积。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）已知球 $O$ 的体积为 $4\sqrt{3}\pi$ ， $A,B,C,D$ 四点均在球 $O$ 的球面上， $△ABC$ 为等边三角形， $DA=DB=DC=\sqrt{2}$ ，则 $△ABC$ 的面积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（求球半径 $R$）：利用球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=4\sqrt{3}\pi$，求出球 $O$ 的半径 $R$。
2. 第二步逻辑（构建正三棱锥外接球截面模型）：

• 因为 $DA=DB=DC=\sqrt{2}$，且 $△ABC$ 为等边三角形，所以几何体 $D-ABC$ 是一个标准的正三棱锥。
• 设 $△ABC$ 的外接圆圆心为 $O_1$，其外接圆半径为 $r$。根据正三棱锥的对称性，顶点 $D$ 、底面中心 $O_1$ 以及球心 $O$ 必然三点共线，且直线 $D{O}_1\perp$ 底面 $ABC$。

3. 第三步逻辑（利用勾股定理联立消元）：

• 设正三棱锥的高 $D{O}_1=h$。在直角三角形 $△D{O}_{1}A$ 中，有 $O{A}^2=O_1{A}^2+O{O}_1^2$（即球、底面圆与球心的核心直角三角形关系）。
• 同时，由于 $D,O,O_1$ 在同一条垂直轴线上，球心 $O$ 到底面的距离为 $|R-h|$ 或 $|h-R|$。
• 分别在 $△D{O}_{1}A$ 中利用侧棱长构成 $h^2+r^2=D{A}^2=2$；在 $△O{O}_{1}A$ 中利用球半径构成 $r^2+(R-h{)}^2=R^2$。联立两方程求出 $r^2$，进而求出等边三角形的面积。

✅【答案】

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$\frac{5\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由球的体积公式，$V_0=\frac{4}{3}\pi R^3=4\sqrt{3}\pi$，解得 $R=\sqrt{3}$，设 $△ABC$ 的外心为 $H$，连接 $DH$，

由题意知 $DH$ 为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心 $O$ 在 $DH$ 上，

不妨设 $O$ 在线段 $DH$ 上，连接 $AO,DO,AH$，

设 $△ABC$ 的边长为 $\sqrt{3}x$，由正弦定理可得，$AH=\frac{\sqrt{3}x}{2\sin 60^{\circ }}=x$，

再设 $OH=y$，由题意知， $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=3\\ x^2+(y+\sqrt{3}{)}^2=2\end{array}$

解得 $y=-\frac{2}{\sqrt{3}}$（负值表示球心 $O$ 在线段 $DH$ 的延长线上，实际情况如右图），

所以 $x^2=\frac{5}{3}$，由三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times {\left(\sqrt{3}x\right)}^2\times \sin 60^{\circ }=\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

【答案】$\frac{5\sqrt{3}}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心 考点：球体积公式的逆向求解；正三棱锥外接球的“双勾股定理解轴向截面”消元模型。
2. 核心 方法：构造直角三角形法。
3. 避坑指南：

• 球心位置主观绝对化陷阱：部分学生在画轴截面时，会盲目认为球心 $O$ 必须落在底面三角形的内部或者正三棱锥的内部，从而在写勾股定理时死记硬背 $r^2+(R-h{)}^2=R^2$ 且主观限制 $h<R$。利用绝对值或平方项展开 $(h-R{)}^2$，其代数展开式完全独立于球心的内外位置，直接统一计算可完美规避空间想象带来的分类讨论负担。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题是正三棱锥外接球的经典填空题：由球的体积反求半径 $R=\sqrt{3}$，再以”轴截面直角三角形”（高、底面外接圆半径、球半径）联立勾股消元，是立体几何几何体外接球板块的高频压轴题型。

一般地，正三棱锥（侧棱 $l$，底面外接圆半径 $r$，高 $h$）的外接球半径满足 $R^2=r^2+(h-R{)}^2$，解得 $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$；球心可能落在锥体内部、底面上或锥体外，需按 $h$ 与 $R$ 的大小关系分段讨论。

外接球问题的通法是”定轴心、列勾股”：先找旋转对称轴（正棱锥的顶点与底面中心连线），再用侧棱、球半径构成的两个直角三角形联立消元；对特殊几何体可用补形法（还原为正方体、圆锥等）直接定位球心。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式
• 2008-浙江卷文-15 填-外接球体积
• 2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积