2026-新高考II卷-18 解-椭圆综合

本题导读

本题考查圆锥曲线的标准方程、动态轨迹方程求解以及二次曲线几何特征的综合判定。第一问通过通径公式直接求解离心率；第二问利用相关点法，将动点 $P$ 的坐标转化为点 $A$ 的坐标表示，代入椭圆方程求出轨迹 $M$ 的方程，并进一步探讨二次曲线存在对称中心的充要条件及平移后的标准几何形状。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$ ，过$E$的右焦点且与 $x$ 轴垂直的直线被 $E$ 所截得的线段长为 $\sqrt{2}$ .

（1）求 $E$ 的离心率；

（2） $O$ 为坐标原点，给定点 $G(t_0,0)(t_0\ne 0)$ ； $A(x_0,y_0)(y_0\ne 0)$ 为 $E$ 上的点，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $B$ ， 直线$OA$ 与 直线$GB$的交点为$P$ ， 当 $A$ 在 $E$ 上运动时， $P$ 的轨迹为 $M$ .

(i) 求 $M$ 的方程；

(ii) 当 $t_0$ 为何值时， $M$ 有对称中心？，当 $M$ 有对称中心时，将 $M$平移后得到曲线$M^{\prime }$ ，使 $O$ 为 $M^{\prime }$ 的对称中心，说明 $M^{\prime }$ 是什么曲线？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问逻辑：由标准方程知 $b=1$。过焦点垂直于长轴的截线长即为通径 $\frac{2b^2}{a}=\sqrt{2}$，由此解出 $a$ 的值。利用 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ 以及离心率公式 $e=\frac{c}{a}$ 计算出数值。
2. 第二问 (i) 逻辑：

• 设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$。已知 $A(x_0,y_0)$，则 $B$ 的坐标为 $(0,y_0)$。
• 写出直线 $AO$ 的方程和直线 $GB$ 的方程，联立方程组消去 $x_0,y_0$ 得到 $x,y$ 的显式表达，或者反过来用 $x,y$ 表示出 $x_0,y_0$（相关点法），代入椭圆 $E$ 的标准方程中，即可导出轨迹 $M$ 的方程。

3. 第二问 (ii) 逻辑：

• 展开并整理轨迹 $M$ 的方程，观察其各项系数。
• 二次曲线存在中心点（中心对称点），要求可以通过平移消去所有的一次项。通过对交叉项及一次项的代数结构进行配方，分析使曲线方程有意义且存在唯一中心对称点时参数 $t_0$ 的取值特征。
• 将方程平移至原点后，对照圆锥曲线的标准方程形式判定其具体的几何形状。

✅【答案】

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(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2)(i) $\left(\frac{t_0^2}{2}-1\right)x^2+t_0^2{y}^2+2t_{0}x-t_0^2=0$（$y\ne 0$） (2)(ii) 当 $t_0\ne \pm \sqrt{2}$ 且 $t_0\ne 0$ 时 $M$ 有中心点；$t_0=\pm 2$ 时 M\' 为圆，$t_0^2>2$ 且 $t_0\ne \pm 2$ 时为椭圆，$0<t_0^2<2$ 时为双曲线

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：求 $E$ 的离心率 由椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$ 可知， $b^2=1⟹b=1$。 过右焦点且垂直于 $x$ 轴的弦为通径，其长度公式为 $L=\frac{2b^2}{a}$。 根据题意： $\frac{2\times 1^2}{a}=\sqrt{2}⟹a=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ 从而可求得半焦距 $c$： $c^2=a^2-b^2=(\sqrt{2}{)}^2-1^2=2-1=1⟹c=1$ 因此，椭圆 $E$ 的离心率 $e$ 为： $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 同时，椭圆 $E$ 的方程为： $\frac{x^2}{2}+y^2=1$。

（2）解：

(i) 求 $M$ 的方程 设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$。 已知 $A(x_0,y_0)$ 在椭圆上，且 $y_0\ne 0$，则有： $\frac{x_0^2}{2}+y_0^2=1$, ① 过 $A(x_0,y_0)$ 作 $y$ 轴的垂线，交 $y$ 轴于点 $B$，故 $B$ 的坐标为 $(0,y_0)$。

• 直线 $AO$ 过原点，其方程为： $y=\frac{y_0}{x_0}x⟹\frac{y_0}{x_0}=\frac{y}{x}$, ②
• 直线 $GB$ 过点 $G(t_0,0)$ 和 $B(0,y_0)$，由截距式方程可得： $\frac{x}{t_0}+\frac{y}{y_0}=1⟹\frac{y}{y_0}=1-\frac{x}{t_0}=\frac{t_0-x}{t_0}⟹y_0=\frac{t_{0}y}{t_0-x}$, ③

将 ③ 式代入 ② 式中，求解 $x_0$： $x_0=y_0\cdot \frac{x}{y}=\frac{t_{0}y}{t_0-x}\cdot \frac{x}{y}=\frac{t_{0}x}{t_0-x}$ , ④

运用相关点法，将 ③ 式和 ④ 式代入椭圆的标准方程 ① 中： $\frac{{\left(\frac{t_{0}x}{t_0-x}\right)}^2}{2}+{\left(\frac{t_{0}y}{t_0-x}\right)}^2=1$ 两边同时乘以分母 $(t_0-x{)}^2$： $\frac{t_0^2{x}^2}{2}+t_0^2{y}^2=(t_0-x{)}^2$ 展开右侧平方式并移项整理： $\frac{t_0^2}{2}{x}^2+t_0^2{y}^2=x^2-2t_{0}x+t_0^2⟹\left(\frac{t_0^2}{2}-1\right)x^2+t_0^2{y}^2+2t_{0}x-t_0^2=0$

由于 $y_0\ne 0$，由 ③ 式知 $y\ne 0$，且由分母非零性质知 $x\ne t_0$。 所以，轨迹 $M$ 的方程为： $\left(\frac{t_0^2}{2}-1\right)x^2+t_0^2{y}^2+2t_{0}x-t_0^2=0(y\ne 0)$

(ii) 判定中心点与平移后的几何形状

考察 $x^2$ 的系数：当 $\frac{t_0^2}{2}-1=0⟹t_0^2=2⟹t_0=\pm \sqrt{2}$ 时，此时曲线没有中心点。 因此，当 $t_0\ne \pm \sqrt{2}$（且已知 $t_0\ne 0$）时，曲线 $M$ 必有中心点。

对曲线 $M$ 的方程关于 $x$ 进行配方，以寻找其中心坐标： $\left(\frac{t_0^2-2}{2}\right)\left[x^2+\frac{4t_0}{t_0^2-2}x\right]+t_0^2{y}^2=t_0^2$ $\left(\frac{t_0^2-2}{2}\right){\left[x+\frac{2t_0}{t_0^2-2}\right]}^2-\frac{2t_0^2}{t_0^2-2}+t_0^2{y}^2=t_0^2$ $\left(\frac{t_0^2-2}{2}\right){\left[x+\frac{2t_0}{t_0^2-2}\right]}^2+t_0^2{y}^2=t_0^2+\frac{2t_0^2}{t_0^2-2}=\frac{t_0^4}{t_0^2-2}$

将其整体平移到 $M^{\prime }$，使其中心处于坐标原点，等价于令 $X=x+\frac{2t_0}{t_0^2-2},Y=y$。 平移后的方程 $M^{\prime }$ 为： $\left(\frac{t_0^2-2}{2}\right)X^2+t_0^2{Y}^2=\frac{t_0^4}{t_0^2-2}$ 得到： $\frac{X^2}{\frac{2t_0^2}{(t_0^2-2{)}^2}}+\frac{Y^2}{\frac{t_0^2}{t_0^2-2}}=1$

• 分边项 $X^2$ 的分母 $m=\frac{2t_0^2}{(t_0^2-2{)}^2}$ 恒为正数。

• 分边项 $Y^2$ 的分母 $n=\frac{t_0^2}{t_0^2-2}$ 的正负取决于 $t_0^2-2$ 的符号。

1. 当 $t_0^2>2⟹t_0\in (-\infty ,-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},+\infty )$ 时： 此时 $n>0$，两个分母均为正数，且 $m\ne n$（若 $m=n⟹\frac{2}{(t_0^2-2{)}^2}=\frac{1}{t_0^2-2}⟹t_0^2-2=2⟹t_0^2=4$ 时为圆）。 故当 $t_0=\pm 2$ 时， $M^{\prime }$ 的形状为圆；
2. 当 $t_0^2>2$ 且 $t_0\ne \pm 2$ 时， $M^{\prime }$ 的形状为椭圆。
3. 当 $0<t_0^2<2⟹t_0\in (-\sqrt{2},0)\cup (0,\sqrt{2})$ 时： 此时 $n<0$， $X^2$ 项系数为正， $Y^2$ 项系数为负，曲线标准方程呈现双曲线特征。 故此时 $M^{\prime }$ 的形状为双曲线。

答：当 $t_0\ne \pm \sqrt{2}$ 且 $t_0\ne 0$ 时， $M$ 有中心点。 当 $t_0=\pm 2$ 时， $M^{\prime }$ 为圆；当 $t_0^2>2$ 且 $t_0\ne \pm 2$ 时， $M^{\prime }$ 为椭圆；当 $0<t_0^2<2$ 时， $M^{\prime }$ 为双曲线（以上均除去 $Y=0$ 对应的边界点）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由交点体系导出的动点坐标变换消元；二次曲线通过配方法对对称中心的化简与提取。
2. 核心方法：相关点坐标代换法。
3. 避坑指南：

• 除数非零的挖点遗漏陷阱：本题在化简直线方程及代入时，由于原题条件限制了 $y_0\ne 0$，对应的轨迹方程必须严格注明隐含限制条件 $y\ne 0$ 或 $x\ne t_0$。
• 形状判定不全面陷阱：在最后一问分析 $M^{\prime }$ 形状时，极易只看到 $t_0^2-2>0$ 形式就草率写出“椭圆”，而遗漏了 $t_0=\pm 2$ 时分母相等化为“圆”的特殊情况，以及 $t_0^2-2<0$ 时符号异号化为“双曲线”的全面分类讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是解析几何中经典的”伴随交点型轨迹问题”：椭圆上的动点 $A$ 与其在 $y$ 轴上的投影点 $B$、定点 $G$ 引出两条动直线，其交点轨迹的本质是射影变换与仿射变换下二次曲线特征的保持性，高等数学背景为二次曲线的分类与不变量理论。
2. 结论推广：一般地，二次曲线 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ 是否存在唯一中心由二次项子行列式 $I_2=AC-\frac{B^2}{4}$ 决定：$I_2\ne 0$ 时为中心型曲线（椭圆/双曲线型），$I_2=0$ 时为无心型（抛物线型）；再由平移后两组平方项分母的符号与大小细分圆、椭圆、双曲线。
3. 方法推广：相关点法（将动点坐标代入已知曲线）是求伴随轨迹方程的通法；中心与形状判定走”配方平移消一次项 $\to$ 读二次项系数符号”两步，二次型矩阵的不变量 $I_2$ 是免配方的快速判据。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质
• 2006-全国卷I理-20 解-基本不等式与最值求解
• 2010-江苏卷-18 解-椭圆轨迹与定点