2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆，以及椭圆的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右焦点为 $F$，右准线为 $l$，短轴的一个端点为 $B$.设原点到直线 $BF$ 的距离为 $d_1$，$F$ 到 $l$ 的距离为 $d_2$.若 $d_2=\sqrt{6}{d}_1$，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\underline{}$.


🔍【思路分析】

破题导航

1. 设定关键点坐标： 右焦点 $F(c,0)$，短轴端点 $B(0,b)$，右准线 $l:x=\frac{a^2}{c}$。
2. 表示距离 $d_2$： $F(c,0)$ 到准线 $x=\frac{a^2}{c}$ 的距离 $d_2=\frac{a^2}{c}-c=\frac{a^2-c^2}{c}=\frac{b^2}{c}$。
3. 表示距离 $d_1$：
   • 求直线 $BF$ 的方程：利用截距式或两点式，直线过 $(c,0)$ 和 $(0,b)$，方程为 $\frac{x}{c}+\frac{y}{b}=1$，即 $bx+cy-bc=0$。
   • 利用点到直线距离公式求原点 $(0,0)$ 到 $BF$ 的距离 $d_1$。
4. 建立等式求解： 将 $d_1,d_2$ 代入条件 $d_2=\sqrt{6}{d}_1$，化简得到关于 $a,c$ 的关系式，进而求出 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由题意，设椭圆的半焦距为 $c$。 则 $F(c,0)$，短轴端点 $B(0,b)$，右准线 $l:x=\frac{a^2}{c}$。

1. 计算 $d_2$： $F$ 到 $l$ 的距离 $d_2=\frac{a^2}{c}-c=\frac{a^2-c^2}{c}=\frac{b^2}{c}$。

2. 计算 $d_1$： 直线 $BF$ 过点 $B(0,b)$ 和 $F(c,0)$，其方程为 $\frac{x}{c}+\frac{y}{b}=1$，化为一般式：$bx+cy-bc=0$。 原点 $O(0,0)$ 到直线 $BF$ 的距离： $d_1=\frac{|b\cdot 0+c\cdot 0-bc|}{\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{bc}{a}$ （注：在直角 $△OBF$ 中，$d_1$ 也是斜边上的高，故 $d_1=\frac{OB\cdot OF}{BF}=\frac{bc}{a}$，其中 $a=\sqrt{b^2+c^2}$）

3. 联立求解： 已知 $d_2=\sqrt{6}{d}_1$，代入上述表达式： $\frac{b^2}{c}=\sqrt{6}\cdot \frac{bc}{a}$ 左右两边约去 $b$（$b\ne 0$）： $\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{6}c}{a}⟹ab=\sqrt{6}{c}^2$ 两边平方：$a^2{b}^2=6c^4$ 利用 $b^2=a^2-c^2$ 代换： $a^2(a^2-c^2)=6c^4⟹a^4-a^2{c}^2-6c^4=0$

方程两边同时除以 $a^4$： $1-(\frac{c}{a}{)}^2-6(\frac{c}{a}{)}^4=0$ 设离心率为 $e=\frac{c}{a}$，则有 $6e^4+e^2-1=0$。 这是一个关于 $e^2$ 的一元二次方程，因式分解得： $(3e^2-1)(2e^2+1)=0$ 因为 $e^2>0$，所以 $3e^2-1=0⟹e^2=\frac{1}{3}$。 由于 $0<e<1$，解得 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆参数 $a,b,c,e$ 之间的基本数量关系。 2. 核心技巧：“齐次化处理”。在得到关于 $a,c$ 的等式后，通过除以最高次幂项将其转化为关于 $e$ 的方程，是求解圆锥曲线离心率的通用策略。

核心方法：见详细解析

避坑指南：计算 $d_1$ 时利用直角三角形面积性质（两直角边乘积除以斜边）比用点到直线距离公式更快捷。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆参数 $a,b,c,e$ 之间的基本数量关系。 2. 核心技巧：“齐次化处理”。在得到关于 $a,c$ 的等式后，通过除以最高次幂项将其转化为关于 $e$ 的方程，是求解圆锥曲线离心率的通用策略。

结论推广：椭圆中焦准距（焦点到准线距离） $p=\frac{b^2}{c}=\frac{a}{e}-ae$。

方法推广：离心率的求解往往不需要求出 $a,c$ 具体数值，只需建立它们的齐次方程。!

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆