2007-江西卷文-15 填-反函数与图象对称

本题导读

本题考查反函数，以及图象对称。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 已知函数 $y=f(x)$ 存在反函数 $y=f^{-1}(x)$，若函数 $y=f(1+x)$ 的图象经过点 $(3,1)$，则函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象必经过点　　。

🔍【思路分析】

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1. $y=f(1+x)$ 过 $(3,1)\Rightarrow f(1+3)=f(4)=1$。
2. 即原函数 $y=f(x)$ 图象过 $(4,1)$。
3. 反函数图象与 $y=x$ 对称，$(4,1)$ 对称点为 $(1,4)$。

✅【答案】

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(1,4)

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=f(1+x)$ 的图象经过 $(3,1)$，代入得 $f(1+3)=f(4)=1$． 原函数 $y=f(x)$ 的图象过点 $(4,1)$；反函数图象由原函数图象关于直线 $y=x$ 对称得到， 故 $(4,1)$ 的对称点 $(1,4)$ 必在反函数图象上，即 $y=f^{-1}(x)$ 的图象必经过点 $(1,4)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数与图象对称

核心方法：由 $f(1+x)$ 过 $(3,1)$ 得 $f(4)=1$；$(4,1)$ 关于 $y=x$ 对称得 $(1,4)$

避坑指南：反函数图象点与原函数点横纵坐标互换；先确定 $f$ 图象上哪个点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数图象对称性，函数基础题

结论推广：$f(a)=b\iff f^{-1}(b)=a$，图象关于 $y=x$ 对称

方法推广：反函数题抓住”原象与象互换”这一核心

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

• 2007-上海卷文-02 填-反函数求解
• 2007-北京卷文-02 单-反函数定义域
• 2007-辽宁卷文-02 单-反函数图象对称
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