2007-上海卷文-11 填-弓形面积范围

本题导读

本题考查圆与圆的位置关系，以及弓形面积。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 如图，$AB$ 是直线 $l$ 上的两点，且 $AB=2$. 两个半径相等的动圆分别与 $l$ 相切于 $A$，$B$ 点，$C$ 是这两个圆的公共点，则圆弧 $AC$，$CB$ 与线段 $AB$ 围成图形面积 $S$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设半径为 $r$，两圆相切于 $A$、$B$，圆心在 $l$ 的同一侧；两圆有公共点需 $r⩾1$（圆心距 $2⩽2r$）。
2. 以 $A$ 为原点建系，求出公共点 $C$ 与圆心角，把 $S$ 表示为 $r$ 的函数：三角形 $ABC$ 面积减去两个弓形面积。
3. 证 $S(r)$ 递减：求导后用 $\arcsin u>u$（$0<u<1$）放缩；再算端点 $r=1$ 与极限 $r\to +\infty$。

✅【答案】

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$\left(0,2-\frac{\pi }{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

设两个圆的半径为 $r$．取 $A=(0,0)$，$B=(2,0)$，则两个圆心可取为 $O_1=(0,r)$、$O_2=(2,r)$．两圆有公共点的必要条件为 $r⩾1$．记 $h=\sqrt{r^2-1}$，则图中位于两圆之间的公共点为 $C=(1,r-h)$． 令 $\alpha =\arcsin \frac{1}{r}$（$0<\alpha ⩽\frac{\pi }{2}$）．在等腰三角形 $O_{1}AC$ 中，圆心角 $\angle A{O}_{1}C=\alpha$．由对称性，所围图形的面积等于三角形 $ABC$ 的面积减去两个相同的弓形面积，其中 $\frac{1}{2}AB\cdot (r-h)=r-h,$ 每个弓形面积为扇形面积减去三角形面积，即 $\frac{1}{2}{r}^2\alpha -\frac{1}{2}{r}^2\sin \alpha$．因此 $S=r-h-r^2(\alpha -\sin \alpha )=2r-\sqrt{r^2-1}-r^2\arcsin \frac{1}{r}.$ 当 $r=1$ 时，$S=2-\frac{\pi }{2}$．对 $r>1$，求导得 $S^{\prime }(r)=2-\frac{r}{\sqrt{r^2-1}}-2r\arcsin \frac{1}{r}+\frac{r}{\sqrt{r^2-1}}=2-2r\arcsin \frac{1}{r}<0,$ 其中不等号由 $\arcsin u>u$（$0<u<1$）得到．所以 $S$ 在 $[1,+\infty )$ 上递减．当 $r\to +\infty$ 时，公共点 $C$ 的纵坐标 $r-\sqrt{r^2-1}$ 趋于 $0$，从而 $S\to 0$．因此 $0<S⩽2-\frac{\pi }{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：弓形面积范围

核心方法：设半径建系，面积写成 r 的函数再求导定界

避坑指南：两圆有公共点需 r≥1（圆心距 2≤2r），这一步是定义域的来源；求导后用 arcsin u>u 放缩判单调；r→+∞ 时 S→0 说明下界取不到

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的弓形面积与导数应用

结论推广：弓形面积=扇形-三角形；函数在无限区间上的取值范围=最大值与极限值联合确定

方法推广：求”取值范围”三件套：定义域、单调性、端点值与极限；下界取不到时用开区间

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.04 圆与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2014-北京卷文-07 单-两圆公共点
• 2012-山东卷文-09 单-圆与圆的位置关系
• 2012-江苏卷-12 填-直线与圆的公共点