2014-北京卷文-07 单-两圆公共点

本题导读

$\angle APB=90^{\circ }$ ⟺ $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，化为圆 $x^2+y^2=m^2$ 与圆 $C$ 有公共点，$|m-1|\le 5\le m+1$，$m$ 最大 6，选 B。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 已知圆 $C:(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=1$ 和两点 $A(-m,0)$，$B(m,0)$（$m>0$），若圆 $C$ 上存在点 $P$，使得 $\angle APB=90^{\circ }$，则 $m$ 的最大值为()

A. 7　　　　　　　B. 6　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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$\angle APB=90^{\circ }$ ⟺ $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，化为圆 $x^2+y^2=m^2$ 与圆 $C$ 有公共点，$|m-1|\le 5\le m+1$，$m$ 最大 6，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$\angle APB=90^{\circ }$ 的点 $P$ 的轨迹是以 $AB$ 为直径的圆：圆心为原点 $O$，半径为 $m$。

于是条件”圆 $C$ 上存在这样的点 $P$“等价于”两圆有公共点”。

圆 $C$ 的圆心 $(3,4)$，半径 1；圆心距 $d=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

两圆有公共点 $⟺|r_1-r_2|\le d\le r_1+r_2$，即 $|m-1|\le 5\le m+1$。

由 $5\le m+1$ 得 $m\ge 4$；由 $|m-1|\le 5$ 得 $-4\le m\le 6$。结合 $m>0$：$4\le m\le 6$。

所以 $m$ 的最大值为 6。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆与圆的位置关系；直径所对的圆周角是直角

2. 核心方法：把”张直角”翻译成”在直径圆上”，再把”存在点”翻译成两圆位置关系

3. 避坑指南：①不要在圆 $C$ 上硬设点 $P(x,y)$ 代入角度条件——先轨迹化（直径圆）再谈两圆关系，运算量天差地别；②$m$ 的最大值来自左约束 $|m-1|\le 5$，最小值来自右约束 $5\le m+1$，两个不等式各管一端，别弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆与圆位置关系综合题，与 1980 年全国卷理第 2 题、1993 年新高考理第 11 题同族。

2. 结论推广: 一般地，定点 $A$、$B$ 对张直角的轨迹是以 $AB$ 为直径的圆（圆周角定理的逆用）；两圆有公共点 $⟺|r_1-r_2|\le d\le r_1+r_2$，“存在性”问题几乎都落在这条上。

3. 方法推广: 解析几何”存在性 + 角度”条件：先轨迹化（直径圆/阿氏圆/圆幂），再把存在性翻译成两曲线位置关系的参数不等式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.04 圆与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1980-全国卷理-02
• 1993-新高考理-11