2007-上海卷文-15 单-递推命题真假

本题导读

本题考查命题的真假判断，以及递推关系。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 设 $f(x)$ 是定义在正整数集上的函数，且 $f(x)$ 满足：“当 $f(k)⩾k^2$ 成立时，总可推出 $f(k+1)⩾(k+1{)}^2$ 成立”. 那么，下列命题总成立的是 ()

A. 若 $f(1)<1$ 成立，则 $f(10)<100$ 成立

B. 若 $f(2)<4$ 成立，则 $f(1)⩾1$ 成立

C. 若 $f(3)⩾9$ 成立，则当 $k⩾1$ 时，均有 $f(k)⩾k^2$ 成立

D. 若 $f(4)⩾25$ 成立，则当 $k⩾4$ 时，均有 $f(k)⩾k^2$ 成立

🔍【思路分析】

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1. 记 $P_k$：$f(k)⩾k^2$。题设条件是对每个正整数 $k$：$P_k\Rightarrow P_{k+1}$，只能向后递推。
2. D 中 $f(4)⩾25>16=4^2$，故 $P_4$ 真，连用题设得 $P_5,P_6,\cdots$ 全真。
3. A、B 想从”不成立”反向推，题设不支持；C 起点在 $k=3$，推不出 $k=1,2$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

记命题 $P_k$ 为 $f(k)⩾k^2$．题设条件是对每个正整数 $k$，均有 $P_k\Rightarrow P_{k+1}$． 若 $f(4)⩾25$，则必有 $f(4)⩾16=4^2$，即 $P_4$ 成立．由题设可推出 $P_5$，再依次推出 $P_6,P_7,\cdots$，所以当 $k⩾4$ 时均有 $f(k)⩾k^2$．因此第四个命题总成立． 其余选项均不能由题设条件推出：题设只说明不等式成立时可以向后递推，不能由某一项不成立反向推出前一项，也不能由某一项成立反向推出更前面的各项成立． （易错点：C 的起点 $P_3$ 为真时只能保证 $k⩾3$，而它断言的是 $k⩾1$，多推了 $k=1,2$；递推命题的”起点”与”终点范围”必须严格对齐。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推命题真假

核心方法：把题设读成 P(k)⇒P(k+1) 再逐项检验

避坑指南：递推只能向后传，不能反向；选项断言的起点与范围必须严格对齐（f(4)≥25 强于 P4，因 25>16）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”常用逻辑用语”与数学归纳法

结论推广：P(k)⇒P(k+1) 对所有 k 成立时，任一 P(m) 真推出 k≥m 全真

方法推广：处理递推命题先写清楚 P_k 是什么，再核对每个选项的”起点”和”终点”

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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