2007-上海卷文-17 解-解三角形面积

本题导读

本题考查正弦定理。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$a$，$b$，$c$ 分别是三个内角 $A$，$B$，$C$ 的对边. 若 $a=2$，$C=\frac{\pi }{4}$，$\cos \frac{B}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求 $△ABC$ 的面积 $S$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $\cos \frac{B}{2}$ 求 $\sin \frac{B}{2}$（$0<\frac{B}{2}<\frac{\pi }{2}$，取正根），再用二倍角求 $\sin B$、$\cos B$。
2. $A=\pi -B-C$，$\sin A=\sin (B+C)$ 展开。
3. 正弦定理求 $c$，最后 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$。

✅【答案】

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$S=\frac{8}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $0<B<\pi$，所以 $0<\frac{B}{2}<\frac{\pi }{2}$，从而 $\sin \frac{B}{2}=\sqrt{1-{\cos }^2\frac{B}{2}}=\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$ 于是 $\sin B=2\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}=2\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4}{5},$ $\cos B=2{\cos }^2\frac{B}{2}-1=2\cdot \frac{4}{5}-1=\frac{3}{5}.$ 由 $A=\pi -B-C$，得 $\sin A=\sin (B+C)$．因此 $\sin A=\sin B\cos C+\cos B\sin C=\frac{4}{5}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{10}.$ 由正弦定理， $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C},c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}=\frac{10}{7}.$ 所以 $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{10}{7}\cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{7}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形面积

核心方法：半角求全角，正弦定理传边

避坑指南：0<B/2<π/2 保证 sin(B/2) 取正根；sinA=sin(B+C) 展开时两个角都用 sinB、cosB 表示

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”解三角形”与二倍角

结论推广：S=1/2·ac·sinB；正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC

方法推广：已知半角函数值先用二倍角升幂，再走”求角→求边→求面积”流水线

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练(Links)

• 2010-上海卷文-18 单-正余弦定理判形状
• 2010-大纲卷I文-18 解-正弦定理求角
• 2010-天津卷文-17 解-正弦定理与三角求值
• 2010-安徽卷文-16 解-面积数量积与余弦定理