2007-上海卷文-18 解-增长率应用题

本题导读

本题考查等比数列的应用。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快. $2002$ 年全球太阳电池的年生产量达到 $670$ 兆瓦，年生产量的增长率为 $34\%$. 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 $2\%$（如，$2003$ 年的年生产量的增长率为 $36\%$）. （1）求 $2006$ 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 $0.1$ 兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，$2006$ 年的实际安装量为 $1420$ 兆瓦. 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 $42\%$，到 $2010$ 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 $95\%$），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 $0.1\%$）？

🔍【思路分析】

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1. (1) 增长率依次为 $36\%,38\%,40\%,42\%$，四年连乘 $670\times 1.36\times 1.38\times 1.40\times 1.42$。
2. (2) 设平均增长率 $r$，2010 年安装量 $1420(1+r{)}^4$，生产量 $P_{2006}\times 1.42^4$。
3. 列不等式 $1420(1+r{)}^4⩾0.95P_{2006}\cdot 1.42^4$，开四次方解 $r$。

✅【答案】

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(1) 约 $2499.8$ 兆瓦；(2) 至少应达到 $61.5\%$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由题意，$2003$，$2004$，$2005$，$2006$ 年的年生产量增长率依次为 $36\%$，$38\%$，$40\%$，$42\%$．设第 $n$ 年的年生产量为 $P_n$，则 $P_{2006}=670(1+0.36)(1+0.38)(1+0.40)(1+0.42)=2499.822528\text{兆瓦}.$ 所以 $2006$ 年全球太阳电池的年生产量约为 $2499.8$ 兆瓦． （2）设这四年中太阳电池年安装量的平均增长率为 $r$，则 $2006$ 年至 $2010$ 年的年生产量为 $P_{2010}=P_{2006}(1+0.42{)}^4.$ 由年安装量不少于年生产量的 $95\%$，得 $1420(1+r{)}^4⩾0.95P_{2006}(1.42{)}^4.$ 因为 $1+r>0$，所以 $r⩾\sqrt[4]{\frac{0.95\times 2499.822528\times 1.42^4}{1420}}-1\approx \mathrm{0.614821.}$ 因此平均增长率至少应达到 $61.5\%$． （易错点：增长率”逐年递增 $2\%$“指百分点递增（$36\%\to 38\%\to 40\%\to 42\%$），不是乘 $1.02$；连乘时一年都不能漏。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：增长率应用题

核心方法：逐年增长率连乘建模，再解四次方不等式

避坑指南：“增长率逐年递增 2%“是百分点递增（36%→38%→40%→42%），不是乘 1.02；开四次方时两边同为正直接开

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列与指数增长模型

结论推广：增长率恒定为等比模型；增长率逐年变化则逐年连乘

方法推广：应用题先列第 n 年的表达式，精确到 0.1% 时中间过程多保留几位

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练(Links)

• 2010-浙江卷文-16 填-增长率不等式
• 2012-湖南卷文-20 解-数列递推与增长率
• 2014-湖南卷理-08 单-增长率问题