2007-北京卷文-13 填-弦图与二倍角

本题导读

本题考查余弦二倍角公式，以及弦图（勾股定理）模型。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） $2002$ 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为 $1$，大正方形的面积为 $25$，直角三角形中较小的锐角为 $\theta$，那么 $\cos 2\theta$ 的值等于 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 设直角三角形两直角边为 $a>b$：大正方形边长为斜边，$a^2+b^2=25$；小正方形边长 $a-b=1$。
2. 解出 $ab=12$，$a+b=7$。
3. 较小锐角 $\theta$ 的邻边是 $a$（长直角边）、对边是 $b$：$\cos \theta =\frac{a}{5}$，$\sin \theta =\frac{b}{5}$。
4. $\cos 2\theta =\frac{a^2-b^2}{25}$。

✅【答案】

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$\frac{7}{25}$

✍【详细解析】

Abstract

设直角三角形的两条直角边为 $a$、$b$（$a>b$）．大正方形的边长即直角三角形的斜边，故 $a^2+b^2=25;$ 小正方形的边长为 $a-b$，故 $a-b=1$． 由 $(a+b{)}^2=(a-b{)}^2+4ab$ 与 $a^2+b^2=25$，即 $25+2ab=1+4ab$，得 $ab=12$，于是 $(a+b{)}^2=49$，$a+b=7$． 较小锐角 $\theta$ 所对的直角边为 $b$，斜边为 $5$，故 $\cos \theta =\frac{a}{5},\sin \theta =\frac{b}{5}.$ 于是 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\frac{a^2-b^2}{25}=\frac{(a+b)(a-b)}{25}=\frac{7\times 1}{25}=\frac{7}{25}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：弦图与二倍角

核心方法：弦图列勾股方程，边长表二倍角

避坑指南：较小锐角的邻边是长直角边 a；cos2θ=(a²−b²)/(a²+b²) 的分母是斜边平方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：赵爽弦图与勾股定理

结论推广：cos2\theta=\cos²\theta−\sin²\theta

方法推广：图形背景题先设元列方程，把几何约束翻译成代数

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

• 2013-四川卷理-13 填-二倍角公式
• 2013-浙江卷理-06 单-二倍角公式