2007-北京卷文-17 解-面面垂直与异面角

本题导读

本题考查面面垂直的判定。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 如图，在 $\mathrm{Rt}△AOB$ 中，$\angle OAB=\frac{\pi }{6}$，斜边 $AB=4$．$\mathrm{Rt}△AOC$ 可以通过 $\mathrm{Rt}△AOB$ 以直线 $AO$ 为轴旋转得到，且二面角 $B-AO-C$ 是直二面角．$D$ 是 $AB$ 的中点． （1）求证：平面 $COD\perp$ 平面 $AOB$； （2）求异面直线 $AO$ 与 $CD$ 所成角的大小．

🔍【思路分析】

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1. 旋转不改变形状：$CO=BO=2$、$AC=AB=4$、$\angle AOC=90^{\circ }$。
2. （1）$CO\perp AO$（旋转保直角），$CO\perp BO$（二面角 $B-AO-C$ 为直二面角且 $BO\perp AO$）$\Rightarrow CO\perp$ 平面 $AOB$。
3. （2）以 $O$ 为原点、$OA$、$OB$、$OC$ 为三轴建系；$D$ 为 $AB$ 中点，算 $\cos ⟨\overrightarrow{AO},\overrightarrow{CD}⟩$。

✅【答案】

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（1）证明见解析；（2）异面直线 $AO$ 与 $CD$ 所成角的大小为 $\arctan \frac{\sqrt{15}}{3}$（即 $\arccos \frac{\sqrt{6}}{4}$）

✍【详细解析】

Abstract

由旋转性质，$\mathrm{Rt}△AOC\cong \mathrm{Rt}△AOB$，故 $CO=BO=2$，$\angle AOC=\angle AOB=90^{\circ }$，$AC=AB=4$． （1） 由 $\angle AOC=90^{\circ }$ 知 $CO\perp AO$；因二面角 $B-AO-C$ 是直二面角，且 $BO\perp AO$、$CO\perp AO$，故 $\angle BOC$ 是该二面角的平面角，$\angle BOC=90^{\circ }$，即 $CO\perp BO$． 又 $AO\cap BO=O$，$AO$、$BO\subset$ 平面 $AOB$，所以 $CO\perp$ 平面 $AOB$． 而 $CO\subset$ 平面 $COD$，故平面 $COD\perp$ 平面 $AOB$． （2） 由（1）知 $OA$、$OB$、$OC$ 两两垂直，以 $O$ 为原点、$OA$、$OB$、$OC$ 所在直线分别为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，则 $O=(0,0,0),A=(2\sqrt{3},0,0),B=(0,2,0),C=(0,0,2).$ $D$ 是 $AB$ 的中点，$D=\left(\sqrt{3},1,0\right)$，故 $\overrightarrow{CD}=\left(\sqrt{3},1,-2\right),|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{3+1+4}=2\sqrt{2};$ $\overrightarrow{AO}=(-2\sqrt{3},0,0),|\overrightarrow{AO}|=2\sqrt{3}.$ 于是 $\cos ⟨\overrightarrow{AO},\overrightarrow{CD}⟩=\frac{|\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AO}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{|(-2\sqrt{3})\times \sqrt{3}|}{2\sqrt{3}\times 2\sqrt{2}}=\frac{6}{4\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.$ 故异面直线 $AO$ 与 $CD$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{6}}{4}$，即 $\arctan \frac{\sqrt{15}}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直与异面角

核心方法：线面垂直推面面垂直，建系算异面角

避坑指南：旋转体先明确不变量：CO=BO=2、∠AOC=90°；三轴两两垂直才能直接建系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面面垂直的判定定理

结论推广：CO⊥平面 AOB 则平面 COD⊥平面 AOB

方法推广：旋转背景先找垂直关系，建系求异面角最稳

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直
• 2010-大纲卷I文-06 单-异面直线所成角