2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直

本题导读

立体几何大题。(1) $AC\perp BD$ 且 $PD\perp AC$ 得 $AC\perp$ 平面 $PDB$；(2) $OE$ 为 $AE$ 的射影，$\mathrm{Rt}△AOE$ 中 $AO=OE$ 得 $45^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面是正方形，$PD\perp$ 平面 $ABCD$，点 $E$ 在棱 $PB$ 上.

(1)求证：平面 $AEC\perp$ 平面 $PDB$；

(2)当 $PD=\sqrt{2}AB$ 且 $E$ 为 $PB$ 的中点时，求 $AE$ 与平面 $PDB$ 所成的角的大小.

🔍【思路分析】

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1. (1) 正方形对角线 $AC\perp BD$；又 $PD\perp$ 底面得 $PD\perp AC$，故 $AC\perp$ 平面 $PDB$；$AC\subset$ 平面 $AEC$，面面垂直得证。
2. (2) 设 $AC\cap BD=O$，$O$ 为 $DB$ 中点，$E$ 为 $PB$ 中点，则 $OE\parallel PD$ 且 $OE=\frac{1}{2}PD$。
3. $AO\perp$ 平面 $PDB$（由(1)），故 $\angle AEO$ 为所求角；$AO=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$，$OE=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$，等腰直角得 $45^{\circ }$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2)$AE$ 与平面 $PDB$ 所成的角为 $45^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $AC\perp BD$。 又 $PD\perp$ 平面 $ABCD$，$AC\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PD\perp AC$。 而 $PD\cap BD=D$，故 $AC\perp$ 平面 $PDB$。 又 $AC\subset$ 平面 $AEC$，所以平面 $AEC\perp$ 平面 $PDB$。

（2） 设 $AC\cap BD=O$，连接 $OE$。因为 $ABCD$ 是正方形，$O$ 是 $BD$ 与 $AC$ 的中点；又 $E$ 是 $PB$ 的中点，所以在 $△PBD$ 中 $OE\parallel PD$ 且 $OE=\frac{1}{2}PD$。 由（1）知 $AC\perp$ 平面 $PDB$，且 $O$ 是 $AC$ 与平面 $PDB$ 的交点，故 $AO\perp$ 平面 $PDB$，$OE$ 是 $AE$ 在平面 $PDB$ 内的射影，$\angle AEO$ 就是 $AE$ 与平面 $PDB$ 所成的角。 $AO=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$；由 $PD=\sqrt{2}AB$ 得 $OE=\frac{1}{2}PD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=AO$。 又 $PD\perp$ 底面、$OE\parallel PD$，所以 $OE\perp AO$，$△AOE$ 为等腰直角三角形，$\angle AEO=45^{\circ }$。 故 $AE$ 与平面 $PDB$ 所成的角为 $45^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直与面面垂直、直线与平面所成的角

核心方法：线面垂直推出面面垂直 + 射影法定线面角

避坑指南：$AC\perp$ 平面 $PDB$ 是全题枢纽；(2) 中 $AO=OE$ 靠 $PD=\sqrt{2}AB$ 这一定量条件，别当定性题画图猜角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥面面垂直证明是立体几何解答题经典模板。

结论推广：线线垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直 $\Rightarrow$ 面面垂直，链条要步步写依据。

方法推广：线面角用射影法：作出垂线段 $AO$，斜线与射影夹角即所求。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-18 解-四棱锥垂直与求高
• 2012-新课标卷文-19 解-面面垂直与截面体积
• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直