2007-四川卷文-06 单-球面距离与二面角

本题导读

本题考查球面距离，以及二面角的平面角。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 设球 $O$ 的半径是 1，$A$、$B$、$C$ 是球面上三点，已知 $A$ 到 $B$、$C$ 两点的球面距离都是 $\frac{\pi }{2}$，且二面角 $B-OA-C$ 的大小为 $\frac{\pi }{3}$，则从 $A$ 点沿球面经 $B$、$C$ 两点再回到 $A$ 点的最短距离是 ()

A. $\frac{7\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{5\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{4\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{3\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 半径为 1 的球面上，两点间球面距离等于大圆弧长，数值上即所对圆心角。
2. $A$ 到 $B$、$C$ 的球面距离都是 $\frac{\pi }{2}$：$\angle AOB=\angle AOC=\frac{\pi }{2}$，即 $OB\perp OA$，$OC\perp OA$。
3. $OB$、$OC$ 都垂直于棱 $OA$，故二面角 $B-OA-C$ 的平面角就是 $\angle BOC=\frac{\pi }{3}$，弧 $BC$ 的长为 $\frac{\pi }{3}$。
4. 最短路径为三段大圆弧之和：$\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}=\frac{4\pi }{3}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

球的半径为 1，球面上两点的球面距离即过这两点的大圆弧长，数值等于所对圆心角的弧度数． $A$ 到 $B$、$C$ 的球面距离均为 $\frac{\pi }{2}$，故 $\angle AOB=\angle AOC=\frac{\pi }{2}$，即 $OB\perp OA$，$OC\perp OA$． $OB$ 与 $OC$ 都垂直于二面角的棱 $OA$，故二面角 $B-OA-C$ 的平面角就是 $\angle BOC$，由题设 $\angle BOC=\frac{\pi }{3}$，弧 $BC$ 的长为 $\frac{\pi }{3}$． 从 $A$ 沿球面经 $B$、$C$ 回到 $A$ 的最短路径为三段大圆弧： $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}=\frac{4\pi }{3}$． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球面距离与二面角

核心方法：球面距离即大圆弧长：$\angle AOB=\angle AOC=\frac{\pi }{2}$，二面角平面角即 $\angle BOC=\frac{\pi }{3}$，三段弧相加

避坑指南：二面角 $B-OA-C$ 的棱是 $OA$，$OB$、$OC$ 都垂直于棱，平面角就是 $\angle BOC$；弧长求和别漏掉回到 $A$ 的那一段

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球面距离与二面角结合是四川卷经典立几小题，2009 年再考同型

结论推广：推广：从球面一点沿大圆经多点返回的最短路径长等于各段弧所对圆心角之和乘半径

方法推广：球面距离问题先转”圆心角”，二面角的棱上找垂直得平面角，几何意义图先行

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练(Links)

• 2009-四川卷文-09 单-球面距离
• 2009-陕西卷文-15 填-球面距离求角
• 2012-四川卷文-10 单-球面距离与截面
• 2009-辽宁卷文-05 单-球纬线长比值